数学人教版八年级上册最短路径问题饮马问题第一课时

中考专题复习——饮马问题及其拓展中考专题复习——饮马问题及其拓展 一、专题分析一、专题分析 初中数学路径最短问题通常是指利用两点之间线段最短和垂线段最短等基本原理求点 与点，点与线距离最短的问题。由于这类问题除了领用两大原理外，还柔和了“轴对称” 、 “平移” “旋转” 、 “展开”等变换，以及与直角坐标系中函数图象的综合，体现了知识的综 合应用， 也能很好的考察学生的空间想象力和数形结合的能力以及化归于转化的能力和灵活 应变的能力，因此是中考数学考试的一个热点。初中最短路径问题，根据使用的数学原理， 主要分为两类， 一类是利用两点之间线段最短解决的问题； 一类是利用垂线段最短解决的问 题。其中在第一类问题中，最著名的主要有“造桥选址问题”、 “饮马问题” 、 “蚂蚁吃蜂蜜问 题” ，考的较多的还是“饮马问题” ，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯 形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” ，根据 两点之间线段最短来说明路径最短。 二、教学目标二、教学目标 1、理解饮马问题的解题原理，掌握解题方法，会求最短距离 2、对于饮马问题的变式问题，能灵活应用其解题思路来解决问题。 3、通过该专题提升学生数形结合的能力和培养学生化归与转化的数学思想的应用能力。 三、教学重点三、教学重点 饮马问题的典型问题及其解法 四、教学难点四、教学难点 饮马问题的变式问题及其解法 五、教学方法五、教学方法 引领探究教学法 六、教学媒体六、教学媒体 希沃电子白板+PPT 课件 教学过程教学过程 一、问题原型一、问题原型 将军在战场（A 处）A 大获全胜，人饥马渴，想到河边（直线MN 处）饮马，然后回到帐篷（B 处）休息，问将军选择在何处饮马，才能使他从战场到帐篷所走的路程最短？ 图一图二 分析：作点A 关于直线 MN 的对称的 A’,连接 BA’与直线MN 交于点 P，连AP，BP 则直线 MN 上，点 P 到点 A 和点 B 的距离之和 AP+BP 最小。即将军在 P 处饮马，能使他从战场到帐篷所 走的路程最短。 原因分析： 设 P’ 使直线 MN 上除点P 外的任一点， 连 AP’ 和 BP’ 、A’P’ ，因为 MN 是线段 AA’的垂直 平分线，∴AP’=A’P’ ，AP=A’P ∴AP’+BP’=A’P’+BP’ ，AP+BP=A’B ∵在△A’P’B 中，两边之和大于第三边 ∴A’P’+P’B＞A’B ∴AP’+BP’＞AP+BP ∴点 P 到 A，B 的距离之和最短 另一方面，利用轴对称，我们把在直线 MN 同侧的两点转化为直线MN 的异侧，就把这一问题 转化为了“两点之间线段最短”的问题。 几何模型： “两静一动，三点一线” 这是一个“两定” “一动”的问题，即两定点在直线的同侧，在直线上找出与两定点距离之 和最小的点。 操作方法： 作出（或找出）其中一个定点关于这条直线的对称点， 该对称点与另一定点的连线与动点所 在直线的交点，就是直线上与两定点距离之和最小的点。 计算方法： “化折为直” 把两条折线转化为一条直线，通过解三角形来计算最短路径的长。 解题步骤：识别---寻点---连线---说明---计算 二、简单举例：二、简单举例： 例、例、 ①如图，要在河边修建一个水泵站， 分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使 所用的水管最短。 ②如图，直线 L 同侧有两点 A、B，已知 A、B 到直线 L 的垂直距离分别为 1 和 3，两点的水 平距离为 3，要在直线 L 上找一个点 P，使 PA+PB 的和最小。请在图中找出点P 的位置，并 计算 PA+PB 的最小值。 ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离 分别为 1Km 和 3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。 三、典型应用：三、典型应用： 1、在三角形中的应用 例 1， 如图， 在等边△ABC 中， AB=6， AD⊥BC， E 是 AC 上的一点， M 是 AD 上的一点， 且 AE=2， 求 EM+MC 的最小值。 图一图二图三 例 2、如图，在锐角△ABC 中，AB=4 2,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，M，N 分 别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 图一图二 2、在特殊四边形中的应用 例 1、正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM＝2，N 是 AC 上的一动点，DN＋MN 的最小 值为。 图一图二 例 2、 在菱形 ABCD 中， AB=2， ∠BAD=60°， 点 E 是 AB 的中点， P 是对角线 AC 上的一个动点， 则 PE+PB 的最小值为。 D P A E B 图(2) C 3、在圆中的应用 例 1、AB 是⊙O 的直径，AB=2，OC 是⊙O 的半径，OC⊥AB，点 D 在弧 AC 上，弧 AD = 2倍弧 CD，点 P 是半径 OC 上的一个动点，则 AP+PD 的最小值为_____。 A 图一图二 4、在函数图像中的应用 例 1、一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A（2，0） ，B（0，4） ． （1）求该函数的解析式； （2）O 为坐标原点， 设 OA、AB 的中点分别为 C、D，P 为 OB 上一动点， 求 PC＋PD 的最小值， 并求取得最小值时 P 点坐标． B 图(3) O P D C 例 2、 如图， 直线y  3x3与x轴，y轴分别交于点 A， B.抛物线y  a(x2)2k(a  0) 经过 A，B 两点，并与x轴交于另一点 C，其顶点为 P。 （1）求抛物线的解析式 （2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ABM 的周长最小？若存在，求△ABM 的周长， 若不存在，请说明理由。 图一图二 四、典型应用练习题四、典型应用练习题 1、如图，在△ABC 中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点， 则 EC＋ED 的最小值为____。 2、如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点 M 在⊙0 上，∠MAB=20°，N 是弧 MB 的中点，P 是直 径 AB 上的一动点，若 MN=1,则△PMN 周长的最小值为 3、 在等腰梯形ABCD中， AB=CD=AD=2， ∠D=120°， 点 E、F 是底边 AD 与 BC 的中点，连接 EF，在线 段 EF 上找一点 P，使 BP+AP 最短． 4、如图，已知⊙O 的直径 MN=1，点A 在圆上，且∠AMN 的度 数为 30°，点B 是弧 AN 的中点，点P 在直径 MN 上运动，求 BP+AP 的最小值． 5、如图，已知抛物线 y=ax +bx+c（a≠0）的对称轴为 x=1，且 抛物线经过 A（-1，0）、C（0，-3）两点，与 x 轴交于另一点 B． ①求这条抛物线所对应的函数关系式； ②在抛物线的对称轴直线x=1 上找到一点 M， 使△ACM 周长最小， 请求出此时点 M 的坐标与△ACM 周长最小值．（结果保留根号） 五、课堂小结五、课堂小结 1、什么是“饮马问题”？ 2、解决“饮马