高中数学精华总结导数大题难点突破

高中◆数学◆难点突破系列高中◆数学◆难点突破系列 《难《难 点点 突突 破》破》( (学生版学生版) ) 压轴题压轴题--------函数与导数常考题型函数与导数常考题型 一、要点归纳一、要点归纳 1. 1. 曲 线y  f (x)在 x  x 0 处 的 切 线 的 斜 率 等 于 f (x 0 ) ， 且 切 线 方 程 为 y  f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 ). 2. 2.若可导函数y  f (x)在 x  x 0 处取得极值，则f (x0)  0。反之，不成立. 3. 3.对于可导函数f (x)，不等式f (x)0的解集决定函数f (x)的递增（减）区间。（ 0） 4. 4.函数f (x)在区间 I 上递增（减）的充要条件是：xI,f (x)0( 0)恒成立（f (x) 不恒为 0）. 5. 5.函数f (x)（非常量函数）在区间I 上不单调等价于f (x)在区间 I 上有极值，则可等价转 化为方程f (x)  0在区间 I 上有实根且为非二重根。 （若f (x)为二次函数且 I=R，则有   0）. 6. 6.f (x)在区间 I 上无极值等价于f (x)在区间在上是单调函数，进而得到f (x)0或 f (x)0在 I 上恒成立. 7. 7.若“ x? I，f (x)0恒成立，则 f (x) min 0; 若xI，f (x)0恒成立 ，则 f (x) max 0. 8. 8.若 x0 I ，使得 f (x 0 )0，则f (x) max 0；若 x0I，使得f (x 0 )0，则 f (x) min 0. 9. 9.设f (x)与g(x)的定义域的交集为 D，若 xD f (x)  g(x)恒成立，则有 f (x) g(x) min0 . 10.10.若对 若对 若对 x 1 I 1 、x2I 2 ，f (x 1)  g(x2 )恒成立，则f (x) min  g(x) max . x 1 I 1 ， x2I 2 ，使得f (x 1)  g(x2 ),则f (x) min  g(x) min . x 1 I 1 ， x2I 2 ，使得f (x 1)  g(x2 )，则f (x) max  g(x) max . 11.11. 已 知 f (x) 在 区 间I1上 的 值 域 为 A, ，g(x)在 区 间I 2 上 值 域 为 B ， 若 对 1 高中◆数学◆难点突破系列高中◆数学◆难点突破系列  x 1 I 1 , x2I 2 ，使得f (x 1) =g(x2)成立，则A B． 12.12.若三次函数 f(x)有两个极值点， 当且仅当方程f (x)  0一定有两个不等实根x 1 、 x 2 ， 若 三次函数 f(x)没有极值点，则方程f (x)  0有两个相等的实根或没实根.． 13.13.证题中常用的不等式: ①e ⑤ x1 x ② ex1 x ③ex  ex ④ex  1 x3 6 ln （x+1 ）  x (x  1) ⑥ ln x11ln xx  1 (x  0)(x  1) ⑦ 2  2x22 x x  12 (x  0) ⑧ x111 lnx (x) x1 (x 1) ⑨ ln x  1  1 x2x xx 二、常考题型：二、常考题型： 题型一：恒成立求参数的最值或取值范围问题题型一：恒成立求参数的最值或取值范围问题 1.已知函数f (x)  1ax xe 在x  0处的切线方程为x y 1 0. 1 x (1)求a的值； (2)若f (x) 1,求x的取值范围. 2. 已 知 函 数f (x)  aln xb , ， 曲 线y  f (x)在 点( 1f x1x ( 1处) 的 切 线 方 程 为 x2y3 0 . （Ⅰ）求a、 b 的值；（Ⅱ）证明：当 x  0 ，且 x 1时， f (x)  3．已知函数f (x)  ln x . x1 ln(1 x) (x  0) x （1）判断函数 f (x) 的单调性； （2）是否存在实数 a 使得关于 x 的不等式 ln(1 x) ax 在 (0,) 上恒成立？若存在，求 出 a 的取值范围，若不存在，试说明理由. 1ln x ． x 1 （1）设a＞0，若函数 f (x) 在区间(a,a )上存在极值，求实数a的取值范围； 2 k2k （2）如果当 x1 时，不等式f (x) 恒成立，求实数 k 的取值范围． x1 4．已知函数f (x)  2 高中◆数学◆难点突破系列高中◆数学◆难点突破系列 5．已知函数f (x)  e 2x 3x. （Ⅰ）求曲线y  f (x)在点(1,f (1))处的切线方程； （Ⅱ）如果当x 1时，不等式f (x)  6．设f (x)  x2 5 2x (a3)x1恒成立，试求实数a的取值范围． 2 a  xln x，g(x)  x3 x23． x （Ⅰ）当a  2时，求曲线 y  f (x) 在 x 1处的切线方程； （Ⅱ）若存在 x 1,x2 [0,2] ，使 g(x 1) g(x2 )  M 成立，求满足上述条件的最大整数M； 1 （Ⅲ）如果对任意的s,t[ ,2]，都有 f (s)  g(t) 成立，求实数a的取值范围． 2 7.设函数f (x)  xe , g(x)  ax  x. (I)若f (x)与g(x)具有完全相同的单调区间，求a的值； (Ⅱ)若当x 0时恒有f (x)  g(x),求a的取值范围. 8.已知函数f (x)  e,g(x)  x1 （Ⅰ）判断函数f (x) g(x)零点的个数,并说明理由； （Ⅱ）当x  0时，f (x) 1 9.已知函数f (x)  ax 3x 1(a，xR). (1) 当a  0时，求函数 f(x)的极值． 32 x x2 ax 恒成立，求实数a的取值范围. 1 x 1 f (x)(2a1)x1，x(1,b](b  1)，如果存在a(,1],， 3 对任意x(1,b]都有h(x)  0成立，试求b的最大值． (2)设函数h(x)  10.设函数f (x)  aln xbx ,a,bR （1）若函数f (x)在x 1处与直线y   2 1 相切，①求实数a,b的值；②求函数f (x)在 2 1  ,e的最大值；  e 2 （2）当b  0时， 若不等式f (x)  m x对所有的a0,  ,x 1,e   都成立， 求实数m 2  3   的取值范围. 3 高中◆数学◆难点突破系列高中◆数学◆难点突破系列 11 11．已知函数f (x)  ln(ax) x2ax（a为常数，a 0）. 22 （1）若x  1 是函数f (x)的一个极值点，求a的值； 2 1  （2）求证：当0