123导数的四则运算法则

日照实验高中日照实验高中 20072007 级数学导学案级数学导学案----------导数导数 1.2.31.2.3 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 学习目标：学习目标： 1.理解两函数的和(或差)的导数法则，会求一些函数的导数． 3.会求一些简单复合函数的导数. 学习重点难点：学习重点难点： 导数的四则运算 自主学习：自主学习： 一、知识再现 1.导数的定义：设函数y  f (x)在x  x0处附近有定义，如果x  0时， 2.理解两函数的积（或商）的导数法则，会求一些函数的导数 教师备课教师备课 学习笔记学习笔记 y与x的比 yy （也叫函数的平均变化率） 有极限即无限趋近于某个 xx 常数，我们把这个极限值叫做函数y  f (x)在x  x0处的导数，记作 y/ xx0 ，即f (x0)  lim / x0 f (x 0  x)  f (x 0 ) x 2. 导数的几何意义：是曲线y  f (x)上点（x0, f (x0)）处的切线的斜率 因此，如果y  f (x)在点x 0 可导，则曲线y  f (x)在点（x0, f (x0)）处 / 的切线方程为y  f (x0)  f (x0)(x  x0) 3. 导函数(导数):如果函数y  f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导 数，此时对于每一个x(a,b)，都对应着一个确定的导数f (x)，从而构 成了一个新的函数 f (x), 称这个函数f (x)为函数y  f (x)在开区间 内的导函数，简称导数 二、新课探究： 法则法则 1 1两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和 (或 差)，即(u  v)  u v / // 证明：令y  f (x)  u(x) v(x)， y [u(x  x) v(x  x)][u(x)  v(x)] [u(x  x) u(x)][v(x  x) v(x)]  u  v， ∴ yuvyuv  u v  lim  lim lim ，lim x0x0x0x0 xxxxxx x x 即 [u(x)  v(x)]  u (x)  v (x)． 法则法则 2 2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数， 加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即(uv)  u v uv 法则法则 3 3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母 的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 u u vuv (v  0)   2vv  说明：⑴(uv)  u v ，(uv)  u v ； ⑵(Cu)  C u Cu  0Cu  Cu ⑶两个可导函数的和、差、积、商一定可导；两个不可导函数和、 差、积不一定不可导 复复合合函函数数的的导导数数复合函数y  f g(x) 的导数和函数y  f (u)和 u  g(x)的导数间的关系为y x  y u u x ，即y对x的导数等于y对u的 导数与u对x的导数的乘积．  若若y  f g(x)，则 ，则y    fg(x)   f  g(x)g(x) 三、例题解析：三、例题解析： 例例 1 1 求y  2x 3x 5x  4的导数． 解： y  3x  6x 5 32 2 例例 2 2 求y  (2x 3)(3x2)的导数． 解： y  (2x 3) (3x  2)  (2x 3)(3x  2) 2 4x(3x  2)  (2x  3)318x 8x 92 22 2 x2 例例 3. 3.求 y=的导数. sin x x2(x2)sin x x2(sin x)2xsin x x2cosx 解：y′=()′=  sin x(sin x)2sin2x 例例 4. 4.求 y= x 3 在点 x=3 处的导数. 2x 3 x 3(x3)(x23)(x3)(x2 3) 解：y′=( 2 )′ 22x 3(x 3) x232x(x3) x26x3  2222(x 3)(x 3) 32633241 ∴y′|x=3=   22(3 3)1446 例例 5. 5. 求 y ＝sin4x ＋cos4x 的导数． 解法一：y ＝sin4x ＋cos4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－ ＝1－ 1 2sin 2 x 2 131 （1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 444 解法二：y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4 sin3x(sin x)′＋4 cos3x (cos x)′＝4 sin3x cos x ＋4 cos3x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin2x －cos2x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x 例例 6 6.函数y  cos2x在点(  4 ,0)处的切线方程是 （ ） A．4x  2y  0B．4x  2y  0 C．4x  2y  0D．4x  2y  0 课堂巩固：课堂巩固： 1.函数 y=x2cosx 的导数为（） A.y′ =2xcosx－x2sinx 2 C.y′ =xcosx－2xsinx 1.求y= B. y′ =2xcosx+x2sinx 2 D.y′ =xcosx－x sinx 1 x 的导数 3 x 1 x2 2.求y=的导数 sin x 4.求ln(2x 3x 1)的导数 归纳反思：归纳反思： 2 合作探究：合作探究： 求曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+3=0 的最短距离. 2.设函数f (x)  e e．证明：f (x)的导数f (x)≥2； xx