123导数的四则运算法则

日照实验高中日照实验高中 20072007 级数学导学案级数学导学案----------导数导数 1.2.31.2.3 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 学习目标学习目标 1.理解两函数的和或差的导数法则，会求一些函数的导数． 3.会求一些简单复合函数的导数. 学习重点难点学习重点难点 导数的四则运算 自主学习自主学习 一、知识再现 1.导数的定义设函数y  f x在x  x0处附近有定义，如果x  0时， 2.理解两函数的积（或商）的导数法则，会求一些函数的导数 教师备课教师备课 学习笔记学习笔记 y与x的比 yy （也叫函数的平均变化率） 有极限即无限趋近于某个 xx 常数，我们把这个极限值叫做函数y  f x在x  x0处的导数，记作 y/ xx0 ，即f x0  lim / x0 f x 0  x  f x 0 x 2. 导数的几何意义是曲线y  f x上点（x0, f x0）处的切线的斜率 因此，如果y  f x在点x 0 可导，则曲线y  f x在点（x0, f x0）处 / 的切线方程为y  f x0  f x0x  x0 3. 导函数导数如果函数y  f x在开区间a,b内的每点处都有导 数，此时对于每一个xa,b，都对应着一个确定的导数f x，从而构 成了一个新的函数 f x, 称这个函数f x为函数y  f x在开区间 内的导函数，简称导数 二、新课探究 法则法则 1 1两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和 或 差，即u  v uv / // 证明令y  f x  ux vx， y [ux  x vx  x][ux  vx] [ux  x ux][vx  x vx]  u  v， ∴ yuvyuv  u v  lim  lim lim ，lim x0x0x0x0 xxxxxx x x 即 [ux  vx]  u x  v x． 法则法则 2 2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数， 加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即uv uv uv 法则法则 3 3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母 的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 u uvuv v  0   2vv  说明⑴uv uv，uv uv； ⑵Cu Cu Cu 0Cu Cu ⑶两个可导函数的和、差、积、商一定可导；两个不可导函数和、 差、积不一定不可导 复复合合函函数数的的导导数数复合函数y  f gx 的导数和函数y  f u和 u  gx的导数间的关系为y x  y u u x ，即y对x的导数等于y对u的 导数与u对x的导数的乘积．  若若y  f gx，则 ，则y    fgx   f  gxgx 三、例题解析三、例题解析 例例 1 1 求y  2x 3x 5x  4的导数． 解 y 3x  6x 5 32 2 例例 2 2 求y  2x 33x2的导数． 解 y 2x 33x  2  2x 33x  2 2 4x3x  2  2x  3318x 8x 92 22 2 x2 例例 3. 3.求 y的导数. sin x x2x2sin x x2sin x2xsin x x2cosx 解y′′  sin xsin x2sin2x 例例 4. 4.求 y x 3 在点 x3 处的导数. 2x 3 x 3x3x23x3x2 3 解y′ 2 ′ 22x 3x 3 x232xx3 x26x3  2222x 3x 3 32633241 ∴y′|x3   223 31446 例例 5. 5. 求 y ＝sin4x ＋cos4x 的导数． 解法一y ＝sin4x ＋cos4x＝sin2x ＋cos2x2－2sin2cos2x＝1－ ＝1－ 1 2sin 2 x 2 131 （1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 444 解法二y′＝sin4x′＋cos4x′＝4 sin3xsin x′＋4 cos3x cos x′＝4 sin3x cos x ＋4 cos3x －sin x＝4 sin x cos x sin2x －cos2x＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x 例例 6 6.函数y  cos2x在点  4 ,0处的切线方程是 （ ） A．4x  2y  0B．4x  2y  0 C．4x  2y  0D．4x  2y  0 课堂巩固课堂巩固 1.函数 yx2cosx 的导数为（） A.y′ 2xcosx－x2sinx 2 C.y′ xcosx－2xsinx 1.求y B. y′ 2xcosxx2sinx 2 D.y′ xcosx－x sinx 1 x 的导数 3 x 1 x2 2.求y的导数 sin x 4.求ln2x 3x 1的导数 归纳反思归纳反思 2 合作探究合作探究 求曲线 yln2x-1上的点到直线 2x-y30 的最短距离. 2.设函数f x  e e．证明f x的导数f x≥2； xx