随机变量及其分布

第 2 章随机变量及其分布习题解答 第2章随机变量及其分布 1，设在某一人群中有 40%的人血型是 A 型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A 型的人为止，以 Y 记 进行验血的次数，求 Y 的分布律。 解解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k表明第k个人是 A 型血而前k 1个人都不是 A 型血，因此有 P{Y  k}  0.4(1 0.4)k1 0.40.6k1， （k 1,2,3,） 上式就是随机变量 Y 的分布律（这是一个几何分布） 。 2，水自A 处流至 B 处有 3 个阀门 1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以0.8 的概率打开，以X 表示 当信号发出时水自 A 流至 B 的通路条数，求 X 的分布律。设各阀门的工作相互独立。 解解 ： X只 能 取 值0 ， 1 ， 2 。 设 以 A i (i 1,2,3) 记 第 i 个 阀 门 没 有 打 开 这 一 事 件 。 则 P{X  0}  P{A 1 (A 2  A 3 )}  P{(A 1 A 2 )(A 1 A 3 )}  P{A 1 A 2 } P{A 1 A 3} P{A1 A 2 A 3}  P(A1 )P(A 2 )  P(A 1 )P(A 3 )  P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 )  (10.8)2 (1 0.8)2 (10.8)3 0.072， 3 类似有P{X  2}  P{A 1 (A 2 A 3 )}  P(A 1 A 2 A 3 )  0.8  0.512， P{X 1}1 P{X  0} P{X  2} 0.416,综上所述，可得分布律为 X X0 0 0.072 1 1 0.512 2 2 0.416 B 查 15 个美国人，以X 健康保险相互独立） 。 任何健康保险的概 1 P{X  k} A 23 3,据信有 20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽 表示 15 个人中无任何健康保险的人数 （设各人是否有 问 X 服从什么分布？写出分布律。并求下列情况下无 率： （1）恰有 3 人； （2）至少有 2 人； （3）不少于 1 人且不多于 3 人； （4）多于 5 人。 解解：根据题意，随机变量X 服从二项分布 B(15, 0.2)，分布律为 kP(X  k)  C 15 0.2k0.815k,k  0,1,2, 15 。 （1） P(X （2） P(X 3 3)  C 15 0.230.812 0.2501,  2) 1 P(X 1) P(X  0)  0.8329 ； X  3)  P(X 1) P(X  2) P(X  3)  0.6129 ；（3） P(1 （4） P(X  5) 1 P(X  5) P(X  4) P(X  3) P(X  2)  P(X 1)  P(X  0)  0.0611 13 第 2 章随机变量及其分布习题解答 4，设有一由n个元件组成的系统，记为k /n[G]，这一系统的运行方式是当且仅当n个元件中至少有k(0  k  n)个元 件正常工作时，系统正常工作。现有一3/5[G]系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为 0.9，求这一 系统的可靠性。 解解：对于3/5[G]系统，当至少有 3 个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布 B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为 P(X  k) C k3k3 55 k 5 0.9k0.15k 0.99144 5，某生产线生产玻璃制品， 生产过程中玻璃制品常出现气泡， 以至产品成为次品，设次品率为 0.001，现取 8000 件产品， 用泊松近似，求其中次品数小于7 的概率。 （设各产品是否为次品相互独立） 解解：根据题意，次品数X 服从二项分布 B(8000, 0.001)，所以 kP(X  7)  P(X  6) C 8000 0.001k0.9998000k k0 6 6(80000.001)ke80000.0018ke8  0.3134（查表得） 。 k!k! k0k0 6 6， （1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~(10)，求P{X 15} （2）已知随机变量 X~()，且有P{X  0} 0.5，求P{X  2}。 解解： （1）P{X 15}1 P{X 15}10.9513  0.0487； （2）根据P{X  0} 1 P{X  0} 1e 0.5，得到 ln2。所以 P{X  2} 1 P{X  0} P{X 1} 10.5e (1ln2)/2  0.1534。 7，一电话公司有 5 名讯息员，各人在 t 分钟内收到讯息的次数X ~(2t)（设各人收到讯息与否相互独立） 。 （1）求在 一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2） 求在给定的一分钟内 5 个讯息员恰有 4 人未收到讯息的概率。（3） 写出在一给定的一分钟内，所有5 个讯息员收到相同次数的讯息的概率。 解解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数X ~(2)。 （1）P{X  0}  e2 0.1353； （2）设在给定的一分钟内5 个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y 表示，则 Y~ B(5, 0.1353)，所以 P{Y  4}  C 5 40.13534(1 0.1353)  0.00145 。 14 第 2 章随机变量及其分布习题解答 （3）每个人收到的讯息次数相同的概率为  2 ke2    k! k0 32ke10     k!5  k0  5 8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以 X 表示铃响至结束讲解的时 kx 2 间。 设 X 的概率密度为f (x)   0 1 0  x 1 其他 ， （1） 确定k；（2） 求P{X }；（3） 求P{ X }；（4） 求P{X }。 1 3 1 4 1 2 2 3 解解： （1）根据1  f (x)dx kx2dx  0 3 k ，得到k  3； 3 111 2 （2）P{X  }3x dx     ； 3327   0 11711 2 （3）P{  X }3x dx      ； 42 1/ 4 64 24 219 2 2 （4）P{X  }3x dx 1   。 3327  2/3 1 3 1/ 2 33 1/3 0.003x2 9，设随机变量 X 的概率密度为f (x)   0 0  x 10 其他 2 ，求 t 的方程t  2Xt 5X  4  0有实根的概率。 2 22 解解：方程t