高二导数的四则运算文科

年级高二学科数学 内容标题 编稿老师 导数的四则运算（文科） 李小强 一、教学目标 1. 进一步理解导数的定义，熟练掌握利用定义求函数在某一点处的导数和求导函数的 方法.会求函数的导函数. 2. 正确理解函数在某一点处的导数和导函数的区别与联系 . 3. 掌握几种基本初等函数的导数公式 . 4. 理解并掌握导数的加法、减法、乘法和除法法则.会用这些法则求一些简单的函数的 导数. 二、知识要点分析： （一）导函数的概念： 定义：一般的，如果一个函数 f（x）在区间（a，b）上的每一个点x 处都有导数，导数 值记作f (x) f(xx) f(x) f (x)  lim x x0 则 f (x)是关于x 的函数，称f (x)为 f（x）的导函数，通常也简称为导数 . （二）函数在某点处的导数与导函数的关系： 函数y=f(x)在 x 0 处的导数就是其导函数在x 0 处的函数值 （三）函数在某点处的导数的求法二： 步骤一：先求出函数f（x）的导函数f (x)（可以用导数的定义求出在任意一点x 处 f （x）的导数，也可以利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求出导函数）. 步骤二：将x 0 的值代入 f (x)求出 f (x ) 0 （四）几种常见的基本初等函数的导数公式（三角函数中自变量的单位是弧度）： 常见基本初等函数的导数公式 函数导函数函数导函数 y=c （常数函数） （c为常数） y  0 y  axa1 y=sinx （正弦函数） y  cosx y=xa（幂函数） （a为实数）y=cosx （余弦函数） y=tanx （正切函数） y  sinx a (x  0,a1) y=a （指数函数） y  axlna特 别 的 (ex)  ex y  cos 2x 1 y   sin 2x 1 y=log a x（对数函数） (a 0,a1) 1 y  特 别 的y=cotx （余切函数） xlna (lnx)  （五）导数的四则运算法则： 1 x  f 加法法则:f(x)+g(x)(x) g (x)  f 减法法则:  f(x)-g(x)(x) g (x)  f 乘法法则:  f(x)g(x)(x)g(x) f(x)g (x)  kf 特别的kf(x)(x) f(x)g (x)  f(x)  f (x)g(x)- 除法法则：   (g(x)  0) g2(x) g(x) 【典型例题】 考点一：利用导函数求函数在某一点处的导数值 . 例 1：用导数的定义求y f(x)  首先求出y f(x)  1 2 x的导数并求f (1)、f (8) x的导函数 yx  x 1 11 1  1 1 y x2x 2  222 x 112  f (1), f (8) 22 88 说明： 111 ,    类似常见的函数的导数可以熟记。1.( x) = x2 2 x x 2.在学习了基本初等函数的导数公式和导数四则运算法则 以后可以直接利用公式和法则进行求导而不再利用导数定义。 3.函数在某一点处的导数值就是该函数的导函数在该点处的函数值， 所以只需要求出导函数，就可以求出任何点的导数值。 4.函数在某一点的导数值叫导数，函数的导函数也简称为导数 二者是不同的，前者是一个数值，后者是一个函数，要注意其联系和区别。 例 2：求下列函数的导数 （1）y 2x33x25x7 （2）y 2x33x25x100 解：(1)y  6x26x5(2)y  6x26x5 说明：如果两个函数y=f （x）和 y=g （x）相差一个常数，则这两个函数的导数是同一个函 数. 考点二：利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导函数——导数. 例 3：求下列各函数的导数： y x  x5  sinx （1） x2 ； （2） y  (x1)(x2)(x3) ； （3） y  2sinxcosx ； (4)y e 2x. 1 2 5 3  解：(1) sinx y  x  x  sinx x2 x  x 2  x3 2 y  3 2 ) (x3) ( sinx  (x x2 )   3  5 x2cos 2 x3x2 x2xsinx 2  x4 (2)方法一： y (x1)(x2)(x3) x36x211x6 y 3x212x11 方法二：y [(x1)(x+2)] (x3)(x1)(x 2)(x3) [(x1) (x2)(x1)(x2) ](x3)(x1)(x2)(x3)  (x1) (x2)(x3)(x1)(x2) (x3)(x1)(x2)(x3)  (x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)  3x212x11 (3).y  2[(sinx) cosxsinx(cosx) ]  2[cos2xsin2x] 2cos2x (4).y e 2x  x y  (ex) exex(ex)  e2xe2x  2e2x 说明：有时候可以先把函数进行适当的变形，使之符合导数四则运算中的四种形式，然后再 求导. 考点三：利用导数的意义以及几何意义求曲线的切线以及有关切线的综合问题 . 例 4：求曲线y 1 x 4 3 3  3 在点x  2处的切线方程。 解： （1） y  x2， ∴在x=2处的切线的斜率k=f (2)=4 14 将x=2代入曲线方程y x3得y=4 33 所以切点坐标为(2,4). ∴曲线在点x=2处的切线方程为y－4=4 （x－2）. 即 4x－y－4=0 . 例 5：若点P在曲线y=x3－3x2+（3－ 3）x+3 上移动，经过点P的切线的倾斜角为  ，则 4 角的取值范围是. 分析：P 在曲线上移动，以 P 为切点的切线的斜率等于该点处的函数的导数， 可以通过求出导数的范围确定斜率的范围， 从而确定切线的倾斜角的范围。 解：y  3x26x33 3(x1)23  3 也就是曲线在其上任意一点处的切线斜率都存在 并且切线的斜率k - 3 也就是切线的倾斜角满足 tan存在且tan  3 2 所以[0, )[,) 23 例 6：若曲线 f(x)  x4 x在点 P 处的切线平行于直线3x－y=0 ，求点 P 的坐标和切 线方程. 解：设 P（x 0，f（x0） ） ，则 f’ x0）=4x03 －1=3 （ 所以x 0=1 ，得切点P为（1，0） 所以切线方程为y=3 （x－1） ，即y=3x －3 本讲涉及的数学思想、方法： 1. 基本导数公式需要记熟，同时一些常见的函数的导数也应该记熟，以提高做题速度 和正确率. 2. 利用基本导数公式和导数运算法则求导函数，然后利用导函数求出曲线在某一点处 的导数值是