高二导数讲义

高二导数讲义 Revised on November 25, 2020 导数 【知识归纳】【知识归纳】 1 1、导数的概念、导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量x，那么函数 y 相应地有增量y=f（x 0 +x）－f（x 0 ）， yyf (x 0  x)  f (x 0 ) 叫做函数 y=f（x）在 x 0 到 x 0 +x之间的平均变化率，即=。如果当 xxx y 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做f（x）在点 x 0 处的 x  0时， x 导数，记作 f’（x 0 ）或 y’| xx0。 比值 即 f（x 0 ）=lim x0 f (x 0  x)  f (x 0 )y =lim。 x0 xx 说明：说明：（1）函数 f（x）在点 x 0 处可导，是指x  0时， 在点 x 0 处不可导，或说无导数。 yy 有极限。如果不存在极限，就说函数 xx （2）x是自变量 x 在 x 0 处的改变量，x  0时，而y是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点 x 0 处的导数的步骤： （1）求函数的增量y=f（x 0 +x）－f（x 0 ）； （2）求平均变化率 yf (x 0  x)  f (x 0 ) =； xx （3）取极限，得导数 f’(x 0 )=lim 2 2、导数的几何意义、导数的几何意义 y 。 x0x 函数 y=f（x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点 p（x 0 ，f（x 0 ））处的切线的斜率。也 就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x 0 ，f（x 0 ））处的切线的斜率是f’（x 0 ）。相应地，切线方程为y－ y 0 =f （x 0 ）（x－x 0 ）。 3 3、几种常见函数的导数、几种常见函数的导数: n ①C  0;② x /    nx x n1; ③(sin x)  cosx;④(cosx)  sin x; ⑤(e )   e ; ⑥(a )  a lna; xxx 1 1  ln x  log xlog a e .⑦;⑧  a  x x 4 4、两个函数的和、差、积的求导法则、两个函数的和、差、积的求导法则 法则法则 1 1：两个函数的和：两个函数的和( (或差或差) )的导数的导数, ,等于这两个函数的导数的和等于这两个函数的导数的和( (或差或差) )，， 即： (u  v)  u  v . 法则法则 2 2：两个函数的积的导数：两个函数的积的导数, ,等于第一个函数的导数乘以第二个函数等于第一个函数的导数乘以第二个函数, ,加上第一个加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)  u v  uv . 若 C 为常数,(Cu)  C u Cu  0Cu  Cu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu)  Cu . 法则法则 3 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平 方：方： u u v uv （v0）。‘ ‘= = 2vv  形如 y=f(x ) 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇| X = y＇| U ·u＇| X 5 5、单调区间：、单调区间：一般地，设函数y  f (x)在某个区间可导， 如果f (x) 0，则f (x)为增函数； 如果f (x)  0，则f (x)为减函数； 如果在某区间内恒有f (x)  0，则f (x)为常数； 6 6、极点与极值：、极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧 为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 7 7、最值、最值： 一般地，在区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值。 ①求函数(x)在(a，b)内的极值； ②求函数(x)在区间端点的值(a)、(b)； ③将函数(x)的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 【常见综合题方法导航】 1、关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式 恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f (x)  0得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二 种：分离变量求最值；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 f (x)  g(x)恒成立  h(x)  f (x) g(x)  0恒成立； 2、已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题； （1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种： 第一种：转化为恒成立问题即f (x)  0或f (x)  0在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题； 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0 的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0 的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出 来，则必须用另外的方法； 第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减 区间的子集； 第三种：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0 的关系和对称轴相对区间的位置；特别说 明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句 话的区别；（2）函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增 后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0 的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 3、函数的切线问题； 问题 1：在点处的切线，易求； 问题 2：过点作曲线的切线需四个步骤； 第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在 切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数； 经典题型分类解析经典题型分类解析 【导数定义的应用】【导数定义的应用】 2 例 1、求抛物线 y  x 上的点到直线x  y 2  0的最短距离. 1、（福建）已知对任意实数x，有f (x)   f (x)，g(x)  g(x)，且x  0时， f (x)  0，g(x)  0，则x  0时（