选修2导数习题绝对经典

精心整理 导数概念与运算导数概念与运算 一、基本知识 1．概念： （1）定义： （2）导数的几何意义： （3）求函数在一点处导数的方法： （4）导函数： 2．基本函数的导数：C  _____（C为常数）(xn)  ______， nN(sin x)  ______ (cosx)  _____(ex)  ______ (ax)  _____(lnx)  ______(log a x)  ____ u(x) 3．运算法则：u(x)  v(x)  _______  u(x)v(x)  _____   _______ v(x)  4．复合函数的导数： 二、典型例题 例 1．若函数 f(x)在 x=a 处的导数为 A,则lim 例 2．求下列导函数 ex1 ①y  x cos x②y  x ③y  sin32x④y  ln(x  1 x2) e 1 2 x0 f (a) f (a  x)f (a  4t) f (a 5t) =，lim x0 xt ⑤y  x10sin 2x⑥y  lnsin x 312x2 例 4．求函数y  x25x  4（1）在(0,4)处的切线； （2）斜率为 3的切线； （3）过(0,3)处的切线 三、课堂练习 1． （2007全国 II,8）已知曲线 y  x A．3B.2C.1D.0.5 1 2．求导数（1）y  x3  x2 x  1  1 2  1 3 （2）y +x+3（3）y  (2x 3)(x  2)  (3x 1)(1 x) xxxx 2 4 3lnx 的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（） 2 3f(x)x3f (1)x2x1则 f (1)  ____, f (1) _____ .4．求过原点且与曲线y  四、规范训练 x 9 相切的切线方程. x 5 1曲线y  x33x2 6x 10的切线中，斜率最小的切线方程为—————— 3．函数y  3x  x3，求过点 P（2，-2）的切线方程. 4． （’07江西 11）设函数f (x)是R R上以 5为周期的可导偶函数，则曲线y  f (x)在x 5处的切线 11 的斜率为（）Ａ．Ｂ．0Ｃ．Ｄ．5 55 x)   fx () g(，x ) gx ()5．（’06福建11） 已知对任意实数x， 有f (， 且x  0时，f (x)  0，g(x)  0， 则x  0时（）A．f(x)0，g(x)0B．f(x)0，g(x)0C．f(x)0， g(x)0D．f (x)  0，g(x)  0 精心整理 精心整理 6． （’07全国Ⅱ8）已知曲线 y  x 3ln x的一条切线的斜率为 4 2 1 ，则切点的横坐标为（） 2 A．3B．2C．1D． 1 2 7． （’06 湖南 13）曲线y  ______ 1 和y  x2在它们的交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是 x 14 8． （’04重庆文 15）已知曲线y x3，则过点P(2,4)的切线方程是______________ 33 9． （’07全国Ⅱ22）已知函数f (x)  x3 x． （1）求曲线y  f (x)在点M(t，f (t))处的切线方程； （2） 设a  0，如果过点(a，b)可作曲线y  f (x)的三条切线，证明：a  b  f (a)． 导数的应用（单调性、极值、最值）导数的应用（单调性、极值、最值） 一、基本知识 1．利用导数判断函数的单调性的充分条件 如果在(a,b)内，f (x)  0,则f(x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内，f (x)  0,则f(x)在此区间是减函数 设函数y  f(x)在区间(a,b)内可导 （求单调区间的步骤：求定义域，求导数，解不等式） 2.利用导数研究函数的极值： 已知函数 y  f (x)及其定义域内一点x 0 , 对于存在一个包含x 0的开区间内的所有点 x,如果都有 f (x)  f (x 0 ), 则称函数 f (x)在点 x 0处取极大值，记作 y 极大值  f (x 0 ), 并把 x 0称为函数 f (x)的一个 极大值点；如果都有f (x)  f (x 0 ), 则称函数 f (x)在点 x 0处取极小值，记作 y 极小值  f (x 0 ), 并把 x 0称作极小值点 . （极值是局部概念，最值是整体概念；极大值可以小于极小值） （求极值的步骤：求导、解方程、 判断、结论） 3．利用导数研究函数的最值： （闭区间上的连续函数一定有最大和最小值） ①函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值是函数 f(x)在区间[a,b]上的极大值与 f(a),f(b)中的最大者； ②函数 f(x)在区间[a,b]上的最小值是函数 f(x)在区间[a,b]上的极小值与 f(a),f(b)中的最小者； （求最值的步骤：先求极值再与端点值比较） 二、典型例题 例 1（1）求函数y  x33x23x 5的单调区间、极值. （2）求函数y  3x39x 5在x[2,2]上的最大值与最小值 例 2．设 a 为实数,函数f(x)x3x2xa.(Ⅰ)求f (x)的极值.(Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时 ,曲线 y  f (x)与x轴仅有一个交点. 例 3 已知x 1是函数f (x)  mx33(m1)x2nx 1的一个极值点，其中m,nR,m  0， （I）求m与 n的关系式； （II）求f (x)的单调区间； （III）当x1,1时，函数y  f (x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m，求m的取值范围. 例 4．函数f (x)  4x  ax2 x3在区间1,1上增，求实数a的取值范围. 例 5．设函数f (x)  ax2bln x，其中ab  0．证明：当ab  0时，函数f (x)没有极值点；当ab 0 时，函数f (x)有且只有一个极值点，并求出极值． 三、课堂练习 1．在（a，b）内，f‘（x）0是 f（x）在（a,b)内单调增加的（） A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2．可导函数y  f (x)，f‘（x0）=0是函数y  f (x)在 x0处取得极值的（） A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 精心整理 2 3 精心整理 3．关于函数y  f (x)在区间[a,b]上的极值与最值，下列说法正确的是（） A．极大值一定大于极小 B.最大值一定是极大值 C．极小值一定不是最大值 D.最小值一定小于极 小值 4已知f (x)  x3 ax2bx  c，当x  1时取的极大值 7，当x  3时取得极小值，求极小值以及对 应的 a,b,c 5．函数y  ax3bx2 cx  d的图象与 y轴的交点为 P，且曲线在 P 点处的切线