立体几何第2讲

第 2 讲空间几何体的表面积与体积 一、知识梳理 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r＋r′)l 2.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 柱体(棱柱和圆柱) 锥 体(棱锥和圆锥) 台 体(棱台和圆台) 球 常用结论 1．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径r＝ 3a(a 为正方体的棱长)． 2 表面积 S 表面积＝S侧＋2S底 S 表面积＝S侧＋S底 S 表面积＝S侧＋S上＋S下 S＝4πR2 体积 V＝S 底 h 1 V＝ S 底 h 3 1 V＝ (S 上＋S下＋ S上S下)h3 4 V＝ πR3 3 a (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r＝ (a 为正方体的棱长)． 2 (3)与各条棱都相切的球： 球心是正方体的中心； 半径 r＝ 面体的外接球、内切球的球心和半径 (1)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)． 2a(a 为正方体的棱长).2.正四 2 (2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝ (3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝ 二、习题改编 6a(a 为正四面体的棱长)． 4 6a(a 为正四面体的棱长)． 12 1． (必修 2P27 练习 T1 改编)已知圆锥的表面积等于 12π cm2， 其侧面展开图是一个半圆， 则底面圆的半径为________． 解析：S 表 ＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π， 所以 r2＝4，所以 r＝2. 答案：2 cm 2．(必修 2P28A 组 T3 改编) 如图， 将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥， 则该棱锥的体积与剩 下的几何体体积的比为________． 11111 解析： 设长方体的相邻三条棱长分别为a， b， c， 它截出棱锥的体积 V1＝ × × a× b× 32222 1147 c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以 V1∶V2＝1∶47. 484848 答案：1∶47 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．() (2)锥体的体积等于底面积与高之积．() (3)球的体积之比等于半径比的平方．() (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．() (5)长方体既有外接球又有内切球．() 答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)不能把三视图正确还原为几何体而错解表面积或体积； (2)考虑不周忽视分类讨论； (3)几何体的截面性质理解有误； (4)混淆球的表面积公式和体积公式． 1．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示 (单位：m)，则该 四棱锥的体积为________m3. 解析：根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2 m，高为 1 m 的平行四边形，四棱 1 锥的高为 3 m．故该四棱锥的体积V＝ ×2×1×3＝2(m3)． 3 答案：2 2．将一个相邻边长分别为4π，8π 的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是 ________． 解析：当底面周长为 4π 时，底面圆的半径为 2，两个底面的面积之和是 8π；当底面周 长为 8π 时，底面圆的半径为 4，两个底面的面积之和为 32π.无论哪种方式，侧面积都是矩 形的面积 32π2，故所求的表面积是 32π2＋8π 或 32π2＋32π. 答案：32π2＋8π 或 32π2＋32π 3．已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的 截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为________． 解析： 因为过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形， 所以圆柱的 高为 2 2，底面圆的直径为 2 2，所以该圆柱的表面积为2×π×( 2)2＋2 2π×2 2＝12π. 答案：12π 4．一个球的表面积是 16π，那么这个球的体积为________． 432 解析：设球的半径为 R，则由 4πR2＝16π，解得 R＝2，所以这个球的体积为 πR3＝π. 33 32 答案：π 3 空间几何体的表面积(师生共研) (1)(2020·河南周口模拟)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1⊥ 底面ABC， AB⊥BC， AA1＝AC＝2， 直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°， 则该三棱柱的侧面积为() A．4＋4 2 C．12 B．4＋4 3 D．8＋4 2 π (2)(2020·四川泸州一诊)在梯形 ABCD 中，∠ABC＝ ，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2. 2 将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为() A．(5＋ 2)π C．(5＋2 2)π B．(4＋ 2)π D．(3＋ 2)π 【解析】(1)连接 A1B.因为 AA1⊥底面 ABC，则 AA1⊥BC，又 AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以 BC⊥平面 AA1B1B，所以直线 A1C 与侧面 AA1B1B 所成的角为∠CA1B＝30°.又 AA1＝AC＝2， 所以 A1C＝2 2， BC ＝ 2.又 AB⊥BC，则 AB＝ 2，则该三棱柱的侧面积为 2 2×2＋2×2 ＝4＋4 2，故选 A. (2) π 因为在梯形 ABCD 中，∠ABC＝ ，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，所以将梯形 ABCD 2 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为 AB＝1，高为 BC－AD＝2－1＝1 的圆锥， 所以该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1× 12＋12＝ (5＋ 2)π.故选 A. 【答案】(1)A(2)A 空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之 间的位置关系及数量． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 1．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长 80 cm，则斜截圆柱的侧面面积 S＝________cm2. 解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形． 由题 1 意得所求侧面展开图的面积S＝ ×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)． 2 答案：2 600π 2．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积 为________． 解析：由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为 2， 底面对角线长为 4，球的半径为 2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为2 2，该几何体 1 的表面积 S＝ ×4π×22＋π×22＋2 2× 2×4＝12π＋16. 2 答案：12π＋16 空间几何体的体积(多维探究) 角度一直接利用公式求体积 (2020·山东省实验中学模拟)我国古代《九章算术》