电磁感应中的杆导轨类问题3大模型解题技巧

辅导 23：电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3 大模型)解题技巧 电磁感应中的杆＋导轨模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入 手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如 下： 类型一：单杆+电阻+导轨模型类 【初建模型】 【例题 1】(2017·淮安模拟)如图所示，相距为 L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ 与水平面 的夹角为 θ，N、Q 两点间接有阻值为 R 的电阻。整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂 直导轨平面向下。将质量为 m、阻值也为 R 的金属杆 cd 垂直放在导轨上，杆 cd 由静止释放，下滑距离 x 时达到最大速度。重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求： (1)杆 cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。 【思路点拨】 ： 【答案】 ：(1)gsin θ，方向沿导轨平面向下； ，方向沿导轨平面向下；(2)mgxsinθ－ 【解析】 ：(1)设杆 cd 下滑到某位置时速度为v，则杆产生的感应电动势E＝BLv 回路中的感应电流 I＝ 杆所受的安培力 F＝BIL 根据牛顿第二定律有 mgsinθ－＝ma 当速度 v＝0 时，杆的加速度最大，最大加速度a＝gsin θ，方向沿导轨平面向下 当杆的加速度 a＝0 时，速度最大，最大速度vm＝，方向沿导轨平面向下。 (2)杆 cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgxsinθ＝Q 总＋mvm2 又 Q 杆＝Q 总，所以 Q 杆＝mgxsin θ－。 【内化模型】 单杆+电阻+导轨四种题型剖析 题型一(v0≠0) 杆 cd 以一定初速 度 v0在光滑水平 题型二(v0＝0) 轨道水平光滑， 杆 cd 质量为 m，电 题型三(v0＝0) 倾斜轨道光滑，倾角 两导轨间距为 L 题型四(v0＝0) 竖直轨道光滑， 两导轨间距为 L 说明轨道上滑动，质量阻不计， 两导轨间为α， 杆cd质量为m， 杆 cd 质量为 m， 为 m，电阻不计，距为 L， 拉力 F 恒 两导轨间距为 L定 示意图 力学观 点 开始时 a＝gsin α， 杆开始时 a＝g，杆 F 杆以速度 v 切割磁开始时 a＝ ，杆 m cd 速度 v↑⇒感应电cd 速度 v↑⇒感应 感线产生感应电 cd 速度 v↑⇒感应 动势 E＝BLv↑⇒I↑⇒电动势 E＝ 动势 E＝BLv，电 电动势 E＝ 安培力 F 安 ＝BIL↑，BLv↑⇒I↑⇒安培 - 1 - BLvBLv↑⇒I↑⇒安培力由 mgsin α－F 安＝ma流 I＝ R ， 安培力 F 安＝BIL↑，由 F 知 a↓，当 a＝0 时，v 22B L v F＝BIL＝ R 。 杆 －F 安＝ma 知 a↓，最大，v ＝mgRsin α m22 B L 当 a＝0 时，v 最 做减速运动： FR 大，vm＝B2L2v↓⇒F↓⇒a↓，当 v ＝0 时，a＝0，杆 保持静止 力 F 安＝BIL↑， 由 mg－F 安＝ma 知 a↓，当 a＝0 时， mgR v 最大，vm＝B2L2 图像观 点 F 做的功一部分 能量观 点 动能全部转化为 1 内能：Q＝2mv02 重力做的功(或减少 重力做的功(或减 少的重力势能)一 部分转化为杆的 动能，一部分转 转化为杆的动能， 的重力势能)一部分 一部分转化为内转化为杆的动能，一 1 能：WF＝Q＋2 部分转化为内能： WG 化为内能：WG＝ 1 ＝Q＋2mvm21 2mvm Q＋2mvm2 【应用模型】 【变式】 ： 此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。 现用沿导轨平面向上的恒定外力F 作用在 金属杆 cd 上，使 cd 由静止开始沿导轨向上运动，求cd 的最大加速度和最大速度。 【答案】 ：见解析 【解析】 ：分析金属杆运动时的受力情况可知，金属杆受重力、导轨平面的支持力、拉力、摩擦力和 安培力五个力的作用，沿斜面方向由牛顿第二定律有：F－mgsinθ－F 安－f＝ma 又 F 安＝BIL，I＝＝，所以 F 安＝BIL＝ f＝μN＝μmgcosθ 故 F－mgsinθ－－μmgcosθ＝ma 当速度 v＝0 时，杆的加速度最大，最大加速度am＝－gsinθ－μgcosθ，方向沿导轨平面向上 当杆的加速度 a＝0 时，速度最大，vm＝。 类型二：单杆+电容器(或电源)+导轨模型类 【初建模型】 【例题 2】(2017·北京模拟)如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，两根足够长的平 行光滑金属轨道 MN、 PQ 固定在水平面内， 相距为 L。 一质量为 m 的导体棒 cd 垂直于 MN、 PQ 放在轨道而上， 与轨道接触良好。轨道和导体棒的电阻均不计。 (1)如图 1 所示，若轨道左端M、P 间接一阻值为 R 的电阻，导体棒在拉力F 的作用下以速度 v 沿轨道 做匀速运动。请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt 内，拉力 F 所做的功与电路获得的电能相等。 (2)如图 2 所示，若轨道左端接一电动势为E、内阻为 r 的电源和一阻值未知的电阻，闭合开关S，导 体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度vm，求此时电源的输出功率。 - 2 - (3)如图 3 所示，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始 向右运动。电容器两极板间电势差随时间变化的图像如图 4 所示，已知 t1 时刻电容器两极板间的电势差 为 U1。求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。 【思路点拨】 ： (1)导体棒匀速运动→受力平衡→求出拉力做的功。导体棒切割磁感线产生感应电动势→产生感应电流→ 求出回路的电能。 (2)闭合开关 S→导体棒变加速运动→产生的感应电动势不断增大→达到电源的路端电压→棒中没有电流 →由此可求出电源与电阻所在回路的电流→电源的输出功率。 (3)导体棒在外力作用下运动→回路中形成充电电流→导体棒还受安培力的作用→由牛顿第二定律列式 分析。 【答案】 ：见解析 【解析】 ：(1)导体棒切割磁感线，E＝BLv 导体棒做匀速运动，F＝F 安，又 F 安＝BIL，其中 I＝ 在任意一段时间 Δt 内，拉力 F 所做的功 W＝FvΔt＝F 安 vΔt＝Δt 电路获得的电能 ΔE＝qE＝EIΔt＝Δt 可见，在任意一段时间Δt 内，拉力 F 所做的功与电路获得的电能相等。 (2)导体棒达到最大速度vm 时，棒中没有电流，电源的路端电压U＝BLvm 电源与电阻所在回路的电流I＝ 电源的输出功率 P＝UI＝。 (3)感应电动势与电容器两极板间的电势差相等BLv＝U 由电容器的 U t 图可知 U＝t 导体棒的速度随时间变化的关系为v＝t 可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度a＝ 由 C＝和 I＝，得 I＝＝ 由牛顿第二定律有 F－BIL＝ma 可得 F＝＋。 【内化模型】 单杆+电容器(或电源)+导轨模型四种题型剖析 题型一(v0＝0)题型二(v0＝0)题型三(v0＝0) 倾斜轨道光滑， 电阻不计，两导 轨间距为 L 题型四(v0＝0) 竖直轨道光滑， 电阻为 R，两导 轨间距为