江苏专转本高等数学模拟测试题

一．选择题(每小题 4 分,共 24 分) 1.当 x  0时,1cos2x 与ln(1ax2)是等价无穷小，则常数 a 的值为( ) A.1 B. 2 C.3 D. 4 解：本题考查无穷小阶的比较，就是求两个函数比值的极限，条件说是等价无穷小，那么比值的极限是 1，即有 1 (2x)2 1cos2x2 2 lim lim1 x0ln(1ax2)x0 ax2a 则a  2，选 B。 x2x 2.曲线y 的垂直渐近线是( ) x(x1)(x2) A. x  0 B.x 1 C.x  2 D. 没有垂直渐近线 0 lim 解：所谓垂直渐近线就是若 xx f (x)   （也可以是单侧极限，即左极限或右极限为无穷大） ，则称 x  x 0 为垂直渐近  0，x 1，x  2，但是在求极限时 线。一般拿来讨论极限的x0为函数中无定义的点，本题有三个无定义的点，即x 函数经过化简后变成 3. 设(x)  y  11  ，所以选 C。 ，因此只有lim x2 x2x2  sinx 0 tln(1t)dt，则(x) ( ) A. sin xcos xln(1 sin x) B.sin xln(1sin x) C. sin xcos xln(1 sin x) D.sin xln(1sin x) 解：本题考查变上限积分函数求导公式，选 A。 4. 下列级数中条件收敛的是( ) (1)n A. 2 n1 n (1)n B. n1 n1 n1(1)n C.  (1) D.  n2n1 n1n1 2  n 解：本题考查绝对收敛与条件收敛的概念，首先要知道无论是绝对收敛还是条件收敛都是满足收敛，只是收敛的“强度”不 同罢了。选项 A 与 D 都是满足绝对收敛的，选项 C 一般项的极限不是零，显然发散，只有选项 B 满足条件收敛。 5. 将二重积分   D x2 y2dxdy ，D {(x, y)| x  y 2x2,0  x 1}化成极坐标下的二次积分，则得( )  4 0 2 A.4 0 dr dr B.dr dr C.   22 00 2  2 4 dr dr D.   2dr2dr 0 4 0 2  2 2 解： 本题考查二重积分的极坐标变换，首先关键是画出积分区域来，作图如下： 本题积分区域形如右图阴影部分，显然答案选 D。 6.函数y  xex单调递减且其图形为凸的区间是( ) A．(,2) B. (1,) C.(2,1) D. (1,2) 解： 单调减就是一阶导数小于零，凸就是二阶导数小于零，于是 y  (1 x)ex, y  (x2)ex (1 x)ex 0 x 1 1 x  2，选 D。  x (x2)e  0 x  2 二．填空题（每小题 4 分,共 24 分） 2x1 2x) x 2x1 解：本题考查“1”型的幂指函数求极限，利用“重要极限的推广公式” 7.lim( 24x lim2xlim 2x1 2x 2x12 2x 2 2xlim() lim() lim(1) ex2x1 ex2x1 e2 x 2x1 xx 2x12x1 8.已知 f (x)  2 ，则lim x0 f (2  x) f (2 2x) _______________ x 解：本题考查导数的定义，极限中的x只是一个字母，一个无穷小而已，如同原始定义中的x一样，从极限分子中可以看 出自变量改变了(2  x)(2 2x)  3x，于是 lim x0 f (2  x) f (2 2x)f (2  x) f (2 2x)  3lim 3f (2)  6 x0 x3x 2sin xsin xdx  ___________.9.定积分  4  2  cos x 4  解：本题考查定积分化简计算，即利用函数奇偶性  2sin xsin xsin x 222 44444dx dxtan xdx  2tan xdx  2(sec x1)dx  22   4 cos x   4 cos x   4  0  0    2(tan2x x) 10.设a 4 0  2  2  (1,2,0), b  (1,2,1)则(a b)(a b) _________. 解：本题考查向量坐标的加法、减法以及叉乘运算 由已知可得(a b)  (0,4,1),(a b)  (2,0, 1)，则 ijk (a b)(a b)  041  (4,2,8) 201 11.设函数z  z(x, y)由方程xez yz 1所确定，则 z  _______. y 解：本题考查多元隐函数求偏导，可以选择的方法有很多，比如“公式法” 、 “全微分法” 、 “两边求法” ，这里我们采用两边 求的方法，即对原方程两边同时关于 x 求偏导得 zzzez e  xe y 0，解得  zxxxxe  y zz 。当然本题用公式法做也很简单。 12.幂级数  (1)n (x2)n的收敛域为__________. n1 解：本题考查利用系数模比值法求幂级数的收敛域 (1)n1 n2  lim n1 1，所以 因为  lim R 1 n (1)n xn2 n1 于是1 当x x2 1，所以1 x  3； 1时，  3时， (1)n(1)n1 n （发散-P-级数） ； (x2) (1)n n1n1n1 (1)n(1)n n (1)n n （收敛-莱布尼茨判别法） ； (x2) (1)  n1n1n1 当x 综上，收敛域为(1,3] 三．计算题（每题 8 分，共 64 分） sin x3 13.求极限lim x0 xarcsin x x33x23x21 x23x2 lim lim lim lim 6 2 解：原式= x0 xarcsinx x0 x0 x0 11 1 x 1 1x2 2 1 x2 注：在本题的求解过程中使用了直接代入，即 1 2 lim 1 x21 ；并且利用 (1 x)1x(x  0) ，则 x0 1 x 1 (1(x )) 1 14. 设函数 22 11 (x2)  x2 22 y  y(x)由方程exy xy 1所确定，求y(0), y(0) 解：本题考查隐函数求导，而且是求具体点的导数值 当x  0时，代入原方程得y  0 xy 方程两边同时关于x求导得 e 代入x (1 y)(y xy)  0 （）  0，y  0 得 y(