江苏专转本高等数学模拟测试题

一．选择题每小题 4 分,共 24 分 1.当 x  0时,1cos2x 与ln1ax2是等价无穷小，则常数 a 的值为 A.1 B. 2 C.3 D. 4 解本题考查无穷小阶的比较，就是求两个函数比值的极限，条件说是等价无穷小，那么比值的极限是 1，即有 1 2x2 1cos2x2 2 lim lim1 x0ln1ax2x0 ax2a 则a  2，选 B。 x2x 2.曲线y 的垂直渐近线是 xx1x2 A. x  0 B.x 1 C.x  2 D. 没有垂直渐近线 0 lim 解所谓垂直渐近线就是若 xx f x   （也可以是单侧极限，即左极限或右极限为无穷大） ，则称 x  x 0 为垂直渐近  0，x 1，x  2，但是在求极限时 线。一般拿来讨论极限的x0为函数中无定义的点，本题有三个无定义的点，即x 函数经过化简后变成 3. 设x  y  11  ，所以选 C。 ，因此只有lim x2 x2x2  sinx 0 tln1tdt，则x  A. sin xcos xln1 sin x B.sin xln1sin x C. sin xcos xln1 sin x D.sin xln1sin x 解本题考查变上限积分函数求导公式，选 A。 4. 下列级数中条件收敛的是 1n A. 2 n1 n 1n B. n1 n1 n11n C.  1 D.  n2n1 n1n1 2  n 解本题考查绝对收敛与条件收敛的概念，首先要知道无论是绝对收敛还是条件收敛都是满足收敛，只是收敛的“强度”不 同罢了。选项 A 与 D 都是满足绝对收敛的，选项 C 一般项的极限不是零，显然发散，只有选项 B 满足条件收敛。 5. 将二重积分   D x2 y2dxdy ，D {x, y| x  y 2x2,0  x 1}化成极坐标下的二次积分，则得  4 0 2 A.4 0 dr dr B.dr dr C.   22 00 2  2 4 dr dr D.   2dr2dr 0 4 0 2  2 2 解 本题考查二重积分的极坐标变换，首先关键是画出积分区域来，作图如下 本题积分区域形如右图阴影部分，显然答案选 D。 6.函数y  xex单调递减且其图形为凸的区间是 A．,2 B. 1, C.2,1 D. 1,2 解 单调减就是一阶导数小于零，凸就是二阶导数小于零，于是 y  1 xex, y  x2ex 1 xex 0 x 1 1 x  2，选 D。  x x2e  0 x  2 二．填空题（每小题 4 分,共 24 分） 2x1 2x x 2x1 解本题考查“1”型的幂指函数求极限，利用“重要极限的推广公式” 7.lim 24x lim2xlim 2x1 2x 2x12 2x 2 2xlim lim lim1 ex2x1 ex2x1 e2 x 2x1 xx 2x12x1 8.已知 f x  2 ，则lim x0 f 2  x f 2 2x _______________ x 解本题考查导数的定义，极限中的x只是一个字母，一个无穷小而已，如同原始定义中的x一样，从极限分子中可以看 出自变量改变了2  x2 2x  3x，于是 lim x0 f 2  x f 2 2xf 2  x f 2 2x  3lim 3f 2  6 x0 x3x 2sin xsin xdx  ___________.9.定积分  4  2  cos x 4  解本题考查定积分化简计算，即利用函数奇偶性  2sin xsin xsin x 222 44444dx dxtan xdx  2tan xdx  2sec x1dx  22   4 cos x   4 cos x   4  0  0    2tan2x x 10.设a 4 0  2  2  1,2,0, b  1,2,1则a ba b _________. 解本题考查向量坐标的加法、减法以及叉乘运算 由已知可得a b  0,4,1,a b  2,0, 1，则 ijk a ba b  041  4,2,8 201 11.设函数z  zx, y由方程xez yz 1所确定，则 z  _______. y 解本题考查多元隐函数求偏导，可以选择的方法有很多，比如“公式法” 、 “全微分法” 、 “两边求法” ，这里我们采用两边 求的方法，即对原方程两边同时关于 x 求偏导得 zzzez e  xe y 0，解得  zxxxxe  y zz 。当然本题用公式法做也很简单。 12.幂级数  1n x2n的收敛域为__________. n1 解本题考查利用系数模比值法求幂级数的收敛域 1n1 n2  lim n1 1，所以 因为  lim R 1 n 1n xn2 n1 于是1 当x x2 1，所以1 x  3； 1时，  3时， 1n1n1 n （发散-P-级数） ； x2 1n n1n1n1 1n1n n 1n n （收敛-莱布尼茨判别法） ； x2 1  n1n1n1 当x 综上，收敛域为1,3] 三．计算题（每题 8 分，共 64 分） sin x3 13.求极限lim x0 xarcsin x x33x23x21 x23x2 lim lim lim lim 6 2 解原式 x0 xarcsinx x0 x0 x0 11 1 x 1 1x2 2 1 x2 注在本题的求解过程中使用了直接代入，即 1 2 lim 1 x21 ；并且利用 1 x1xx  0 ，则 x0 1 x 1 1x 1 14. 设函数 22 11 x2  x2 22 y  yx由方程exy xy 1所确定，求y0, y0 解本题考查隐函数求导，而且是求具体点的导数值 当x  0时，代入原方程得y  0 xy 方程两边同时关于x求导得 e 代入x 1 yy xy  0 （）  0，y  0 得 y