概率论数理统计复习总结

《概率论与数理统计》内容指导《概率论与数理统计》内容指导 一、概率部分一、概率部分 1 1．概率论的基本概念及预备知识．概率论的基本概念及预备知识 随机现象，随机试验随机现象，随机试验E E，样本空间，样本空间，样本点，样本点，随机事件，随机事件 A A，基本事件，基本事件{ {} } 必然事件必然事件 ，不可能事件，不可能事件，随机变量，随机变量X X，随机向量（，随机向量（X X, ,Y Y）） 排列：从排列：从 n n 个元素中任取个元素中任取 m m 个元素的排列数：个元素的排列数： 组合：从组合：从 n n 个元素中任取个元素中任取 m m 个元素的组合数：个元素的组合数： 2 2．事件间的关系与运算规律．事件间的关系与运算规律 m mA A n n   n n! ! ( (n n  m m)! )! n n! ! m m! !( (n n  m m)! )! m mC C n n   相互关系相互关系：：1 1 事件事件 B B 包含包含 A A：：A A B B（指事件（指事件 A A 发生必导致发生必导致 B B 发生）发生） A A 与与 B B 相等相等：：A A＝＝B B（指（指 A A B B 且且 B B A A）） 2 2 A A 与与 B B 的的和事件和事件：：A A∪∪B B（指（指 A A, , B B 中至少有一个发生）中至少有一个发生） A A 与与 B B 的的直和直和：：A A＋＋B B＝＝A A∪∪B B（（A A 与与 B B 互不相容时）互不相容时） 3 3 A A 与与 B B 的的积事件积事件：：A A∩∩B B 或或 ABAB（指（指 A A 与与 B B 同时发生）同时发生） ，， 4 4 A A 与与 B B 的的差事件：差事件：A A－－B B＝＝AB AB （指（指 A A 发生而发生而 B B 不发生）不发生） 5 5 A A 与与 B B 互不相容互不相容或或互斥互斥：：A A∩∩B B＝＝．． 6 6 A A 的的对立事件对立事件：：A A＝＝ U U－－A A．． 运算规律运算规律：：(1)(1) 交换律：交换律：A A∪∪B B＝＝B B∪∪A A, ,A A∩∩B B＝＝B B∩∩A A (2)(2) 结合律：结合律：A A∪∪( (B B∪∪C C) )＝＝( (A A∪∪B B) )∪∪C C ，，A A∩∩( (B B∩∩C C) )＝＝( (A A∩∩B B) )∩∩C C (3)(3) 分配律：分配律：A A( (B B∪∪C C) )＝＝ABAB∪∪ACAC 3 3．频率的定义与性质．频率的定义与性质 事件事件 A A 发生的频率发生的频率：： 频率的基本性质频率的基本性质：：1 1 （非负性）（非负性） 对于任一随机事件对于任一随机事件 A A，有，有 f fn n( (A A) )≥≥0 0 2 2 （规范性）（规范性） 对于必然事件对于必然事件 ，有，有 f fn n( ( ) )＝＝1 1 3 3 （有限可加性）若（有限可加性）若 A A1 1, , A A2 2, ,……, , A Ak k两两互斥，则两两互斥，则 f f n n ( (A A) )   n n A A n n （（n nA A为为 n n 次试验中次试验中 A A 发生的次数）发生的次数）  k k k k f f n n      A A i i       f f n n  A A i i     i i 1 1   i i 1 1 4 4．概率的定义与性质．概率的定义与性质 概率的公理化定义概率的公理化定义：称实值函数：称实值函数 P P( (A A) )为事件为事件 A A 的概率，如果的概率，如果 P P( (A A) )满足下述公理：满足下述公理： 1 / 10 公理公理 1 1（非负性）（非负性） 对于任一随机事件对于任一随机事件 A A，有，有 P P( (A A) )≥≥0 0 公理公理 2 2（规范性）（规范性） 对于必然事件对于必然事件 ，有，有 P P( ( ) )＝＝1 1 公理公理 3 3（完全可加性）（完全可加性） 对两两互不相容的事件对两两互不相容的事件 A A1 1, , A A2 2, , ……, ,有有      P P     A A i i       P P A A i i     i i 1 1   i i 1 1 概率的基本性质概率的基本性质：：1 1 P P( () )＝＝0 0；； 0 0≤≤P P( (A A) )≤≤1 1；； P P( (A A) )   1 1  P P( (A A) ) 2 2 （有限可加性）若（有限可加性）若 A A1 1, ,A A2 2, ,……, , A Ak k两两互斥，则两两互斥，则  k k k k P P     A A i i       P P A A i i     i i 1 1   i i 1 1 3 3  若若 A A B B, , 则则 P P( (B B－－A A) )＝＝P P( (B B) )－－P P( (A A) )，，P P( (B B) )≥≥P P( (A A) ) 5 5．概率计算公式．概率计算公式 三种典型概率三种典型概率：古典概率计算公式：古典概率计算公式 几何概率计算公式几何概率计算公式 P P( (A A) )   P P( (A A) )   k k n n m m( (A A) ) m m( ( ) ) P P( (B B | | A A) )   条件概率计算公式条件概率计算公式 加法定理加法定理：：P P( (A A∪∪B B) )＝＝P P( (A A) )＋＋P P( (B B) )－－P P( (ABAB) ) 概率乘法定理概率乘法定理：：P P( (ABAB) )＝＝P P( (A A) )P P( (B B | | A A) )   P P( (ABAB) ) P P( (A A) ) 全概率公式全概率公式：： P P( (A A) )     P P( (B B i i ) )P P( (A A| | B B i i ) ) （（   B B 1 1   B B 2 2   ）） i i 1 1 P P( (B B i i | | A A) )   贝叶斯公式贝叶斯公式：： 6 6．等价定理．等价定理 P P( (B B i i ) )P P( (A A| | B B i i ) )   P P( (A A) ) P P( (B B i i ) )P P( (A A| | B B i i ) )   P P( (B B ) )P P( (A A| | B B ) ) j jj j j j 1