概率论数理统计复习总结

概率论与数理统计内容指导概率论与数理统计内容指导 一、概率部分一、概率部分 1 1．概率论的基本概念及预备知识．概率论的基本概念及预备知识 随机现象，随机试验随机现象，随机试验E E，样本空间，样本空间，样本点，样本点，随机事件，随机事件 A A，基本事件，基本事件{ {} } 必然事件必然事件 ，不可能事件，不可能事件，随机变量，随机变量X X，随机向量（，随机向量（X X, ,Y Y）） 排列从排列从 n n 个元素中任取个元素中任取 m m 个元素的排列数个元素的排列数 组合从组合从 n n 个元素中任取个元素中任取 m m 个元素的组合数个元素的组合数 2 2．事件间的关系与运算规律．事件间的关系与运算规律 m mA A n n   n n n n  m m n n m m n n  m m m mC C n n   相互关系相互关系1 1 事件事件 B B 包含包含 A AA A B B（指事件（指事件 A A 发生必导致发生必导致 B B 发生）发生） A A 与与 B B 相等相等A A＝＝B B（指（指 A A B B 且且 B B A A）） 2 2 A A 与与 B B 的的和事件和事件A A∪∪B B（指（指 A A, , B B 中至少有一个发生）中至少有一个发生） A A 与与 B B 的的直和直和A A＋＋B B＝＝A A∪∪B B（（A A 与与 B B 互不相容时）互不相容时） 3 3 A A 与与 B B 的的积事件积事件A A∩∩B B 或或 ABAB（指（指 A A 与与 B B 同时发生）同时发生） ，， 4 4 A A 与与 B B 的的差事件差事件A A－－B B＝＝AB AB （指（指 A A 发生而发生而 B B 不发生）不发生） 5 5 A A 与与 B B 互不相容互不相容或或互斥互斥A A∩∩B B＝＝．． 6 6 A A 的的对立事件对立事件A A＝＝ U U－－A A．． 运算规律运算规律11 交换律交换律A A∪∪B B＝＝B B∪∪A A, ,A A∩∩B B＝＝B B∩∩A A 22 结合律结合律A A∪∪ B B∪∪C C ＝＝ A A∪∪B B ∪∪C C ，，A A∩∩ B B∩∩C C ＝＝ A A∩∩B B ∩∩C C 33 分配律分配律A A B B∪∪C C ＝＝ABAB∪∪ACAC 3 3．频率的定义与性质．频率的定义与性质 事件事件 A A 发生的频率发生的频率 频率的基本性质频率的基本性质1 1 （非负性）（非负性） 对于任一随机事件对于任一随机事件 A A，有，有 f fn n A A ≥≥0 0 2 2 （规范性）（规范性） 对于必然事件对于必然事件 ，有，有 f fn n   ＝＝1 1 3 3 （有限可加性）若（有限可加性）若 A A1 1, , A A2 2, ,, , A Ak k两两互斥，则两两互斥，则 f f n n A A   n n A A n n （（n nA A为为 n n 次试验中次试验中 A A 发生的次数）发生的次数）  k k k k f f n n      A A i i       f f n n  A A i i     i i 1 1   i i 1 1 4 4．概率的定义与性质．概率的定义与性质 概率的公理化定义概率的公理化定义称实值函数称实值函数 P P A A 为事件为事件 A A 的概率，如果的概率，如果 P P A A 满足下述公理满足下述公理 1 / 10 公理公理 1 1（非负性）（非负性） 对于任一随机事件对于任一随机事件 A A，有，有 P P A A ≥≥0 0 公理公理 2 2（规范性）（规范性） 对于必然事件对于必然事件 ，有，有 P P   ＝＝1 1 公理公理 3 3（完全可加性）（完全可加性） 对两两互不相容的事件对两两互不相容的事件 A A1 1, , A A2 2, , , ,有有      P P     A A i i       P P A A i i     i i 1 1   i i 1 1 概率的基本性质概率的基本性质1 1 P P  ＝＝0 0；； 0 0≤≤P P A A ≤≤1 1；； P P A A   1 1  P P A A 2 2 （有限可加性）若（有限可加性）若 A A1 1, ,A A2 2, ,, , A Ak k两两互斥，则两两互斥，则  k k k k P P     A A i i       P P A A i i     i i 1 1   i i 1 1 3 3  若若 A A B B, , 则则 P P B B－－A A ＝＝P P B B －－P P A A ，，P P B B ≥≥P P A A 5 5．概率计算公式．概率计算公式 三种典型概率三种典型概率古典概率计算公式古典概率计算公式 几何概率计算公式几何概率计算公式 P P A A   P P A A   k k n n m m A A m m   P P B B | | A A   条件概率计算公式条件概率计算公式 加法定理加法定理P P A A∪∪B B ＝＝P P A A ＋＋P P B B －－P P ABAB 概率乘法定理概率乘法定理P P ABAB ＝＝P P A A P P B B | | A A   P P ABAB P P A A 全概率公式全概率公式 P P A A     P P B B i i P P A A| | B B i i （（   B B 1 1   B B 2 2   ）） i i 1 1 P P B B i i | | A A   贝叶斯公式贝叶斯公式 6 6．等价定理．等价定理 P P B B i i P P A A| | B B i i   P P A A P P B B i i P P A A| | B B i i   P P B B P P A A| | B B j jj j j j 1