基本不等式求最值的策略
例谈用基本不等式求最值的四大策略 摘要 基本不等式仁立2面(。>0,》> 0当且仅当a = b时等号成立)是高中必 2 修五《不等式》一章的重要内容之一,也是高考常考的重要知识点。从本质上看, 基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系,所以在求取积的最值、和的 最值当中,基本不等式将会焕发出强大的生命力,它将会是解决最值问题的强有 力工具。本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。 关键字:基本不等式求和与积的最值策略 一、基本不等式的基础知识[1] 基本不等式: 如果。>0力>0,则生够2成,当且仅当a = b时等号成立。 2 在基本不等式的应用中,我们需要注意以下三点: “一正”:0、b是正数,这是利用基本不等式求最值的前提条件。 “二定”:当两正数的和。+b是定值时,积沥有最大值;当两正数的积油是定 值时,和a + b有最小值。 “三相等”:a = b是彖=成的充要条件,所以多次使用基本不等式时,要 2 注意等号成立的条件是否一致。 二、利用基本不等式求最值的四大策略 策略一利用配凑法,构造可用基本不等式求最值的结构 通过简单的配凑(凑系数或凑项)后,使原本与基本不等式结构不一致的式 子,变为结构一致,再利用均值不等式求解最值。 题型一配凑系数 例1设0<尤<刁,求函数y = 4x(3-2x)的最大值。 分析:因为4尤+ (3-2尤)=3 + 2工不是个定值,所以本题无法直接运用基本不等式 求解。但凑系数将4工拆为2.2尤后可得到和2尤+ (3-2工)=3为定值,从而可利用 基本不等式求其最大值。 2 9 ~2 解:因为Ovx<一,所以3-2x>0 2 故 y = 4x(3 一 2x) = 2 • 2x(3 一 2x) 2 5-4x 所以 y = 4x-2 + ^^ =」5-4x + —^] + 3V-2 + 3 = l -4x-5 I 5-4xJ 当且仅当5-4x =—-—,即x = l时,上式等号成立,故当工=1时,y取最大值 5-4% 1. 2配凑一般项 ,1 1 例3 (2010年高考四川文科卷第11题)设a>b>Q,则。一+ = + ~ 的最 ab aya-b) 小值是() (A) 1(B) 2(C) 3(D) 4 分析:如果要利用基本不等式来求和的最小值,就必须出现积的定值。考虑到 ab— = l, a(a-b)—i— = l 艮时/—湖).—=1,所以配凑 ab.-ab 这 aba(a - b)a~ - ab 两项。 解:因为。>力>0,所以ab>0, ]>0, ^Lab + — > 2 ab• — = 2 abab V ab 而。(。一力)>0, — >0 , a(a-b) 所以。(a-b) + —^—>2a(a-b)-—^— = 2 a(a-b) Va(a-b) 1 1 9 1 1 古攵。+~T —7 w= o -ab + ab-\1 ab a(a-b)ab a(a-b) ,1 , 1 ab-\a(a-b)N2 + 2 = 4 aba(a - b) 当且仅当ab=\, a(a— 0 = 1时等号成立,如取a= E,b= g ,式子取得 最小值4. 故选择答案D 策略二遇到分式,可尝试分离后再用基本不等式 题型一:配凑分子,分离分式 对于分子次数比分母高的分式不等式,可尝试先对分子进行配凑,使之出现 与分母相同的项,然后分离得到可用基本不等式求解的结构。 例4 求y =《-2x+2(x〉i)的最小值。[2] x-1 分析:可先将分子配凑出含有X-1的项,再将其分离。 解:因为x>l,所以x-l>0 所以 x2-2x+2 = (x-1)2+1 = x_1 + J^2 X — 1X — 1X —1 当且仅当x-l = — 时,也就是x = 2H寸取等号. X-1 所以y的最小值为2. 题型二:同除分子,分离分母 对于分母次数比分子高的分式不等式,可尝试上下同除以分子,使分母出现 互倒的结构,再用基本不等式求最值。 例5求y=—的值域. f +9 分析:题目没有交代》的取值范围,此题需要分类讨论。 解:当时,分子分母同除以X,则 X1 y == 〉子+99 x + — (1) 当 x>0时,Wx + ->2. X 必=6, X 所以y = ^— 2j(-x) --^― = 6,所以x + — 0和2>0,故X+』阡=2 y % x y \x y 所以尤+y=2 +,— 22 + 2 = 4, 尤V 当且仅当- =艮壮=v =域-1时,取等号 y X 所以,原式的最小值为2. 总结 以上四种策略,是用基本不等式解决最值问题的常用方法。无论是配凑系数 与项、分离分子与分母