基本不等式求最值的策略

例谈用基本不等式求最值的四大策略 摘要 基本不等式仁立2面（。＞0,＞ 0当且仅当a b时等号成立）是高中必 2 修五不等式一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。从本质上看, 基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的 最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题的强有 力工具。本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。 关键字基本不等式求和与积的最值策略 一、基本不等式的基础知识[1] 基本不等式 如果。＞0力＞0,则生够2成，当且仅当a b时等号成立。 2 在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点 “一正”0、b是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。 “二定”当两正数的和。b是定值时，积沥有最大值；当两正数的积油是定 值时，和a b有最小值。 “三相等”a b是彖成的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要 2 注意等号成立的条件是否一致。 二、利用基本不等式求最值的四大策略 策略一利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构 通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的式 子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。 题型一配凑系数 例1设0＜尤＜刁，求函数y 4x（3-2x）的最大值。 分析因为4尤 （3-2尤）3 2工不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式 求解。但凑系数将4工拆为2.2尤后可得到和2尤 （3-2工）3为定值，从而可利用 基本不等式求其最大值。 2 9 2 解因为Ovx＜一,所以3-2x＞0 2 故 y 4x（3 一 2x） 2 2x（3 一 2x） 2 3 当且仅当2 3- 2,即x e 4 所以原式的最大值为|. 题型二配凑项 1配凑常数项 例2已知-,求函数y 4x-2 i 的最大值。[2] 44尤5 分析因4x-50,所以首先要“调整”符号。另外，y 4x-2又不是 4-5 常数，所以对4-2要进行拆、凑项。 解因为x,所以5-40 4 所以5-4x 2 5-4x 所以 y 4x-2 」5-4x ] 3V-2 3 l -4x-5 I 5-4xJ 当且仅当5-4x -,即x l时，上式等号成立，故当工1时，y取最大值 5-4 1. 2配凑一般项 ,1 1 例3 2010年高考四川文科卷第11题设abQ,则。一 的最 ab aya-b 小值是 A 1B 2C 3D 4 分析如果要利用基本不等式来求和的最小值，就必须出现积的定值。考虑到 ab l, aa-bi l 艮时/湖.1,所以配凑 ab.-ab 这 abaa - ba - ab 两项。 解因为。力0,所以ab0, ]0, Lab 2 ab 2 abab V ab 而。。一力0, 0 , aa-b 所以。a-b 2aa-b- 2 aa-b Vaa-b 1 1 9 1 1 古攵。T 7 w o -ab ab-\1 ab aa-bab aa-b ,1 , 1 ab-\aa-bN2 2 4 abaa - b 当且仅当ab\, aa 0 1时等号成立，如取a E，b g ,式子取得 最小值4. 故选择答案D 策略二遇到分式，可尝试分离后再用基本不等式 题型一配凑分子，分离分式 对于分子次数比分母高的分式不等式，可尝试先对分子进行配凑，使之出现 与分母相同的项，然后分离得到可用基本不等式求解的结构。 例4 求y -2x2x〉i的最小值。[2] x-1 分析可先将分子配凑出含有X-1的项，再将其分离。 解因为xl,所以x-l0 所以 x2-2x2 x-121 x_1 J2 X 1X 1X 1 当且仅当x-l 时，也就是x 2H寸取等号. X-1 所以y的最小值为2. 题型二同除分子，分离分母 对于分母次数比分子高的分式不等式，可尝试上下同除以分子，使分母出现 互倒的结构，再用基本不等式求最值。 例5求y的值域. f 9 分析题目没有交代的取值范围，此题需要分类讨论。 解当时，分子分母同除以X,则 X1 y 〉子99 x 1 当 x0时，Wx -2. X 必6, X 所以y 1,当且仅当x 3时，等号成立 9 6 X 当 xvO时，有-x - 2j-x -- 6,所以x -6 , -X V -XX 故七2-』，当且仅当x -3时，等号成立 x96 X 当x 0时，y -0 尸9 综上可知，y的取值范围是 _ 6 6 策略三遇到根式，可尝试平方后再用基本不等式 例6 求函数y J2x 1 J5 2x〈十 的最大值. 分析观察式子的结构，可以看到2x-1 5-2x 4是个定值，所以将式子平 方后，便可构造出可用基本不等式的结构。 解将两v 』2x-l 』5-2x边平方，得 y2 J2x-1 J5-2x2 4 2j2x 15 2x 4 2x-1 5-2x 8 又因为y0,所以0 y2很 当且仅当2x-1 5-2x,即x E时，取等号 2 所以y的最大值是扼. 策略四利用1的性质，合理代换后再用基本不等式 “1”是一个特殊的数，任何式子乘以1,式子仍不变。所以如果题目条件给 出某个式子的值为1,则可在要求最值的式子上乘以这个式子，从而构造出可用 基本不等式的形式。 例7 设xy0,且 1,求x y的最小值. x V 分析由于- - 1,所以xy f- -ky 2 -,故可用基本不等 x vv y x y 式求最值. 解 由于一 1, 所以尤 y二 xy 2 x vv y x y 又由于w〉。，所以和y同号，故三0和20,故X』阡2 y x y \x y 所以尤y2 ， 22 2 4, 尤V 当且仅当- 艮壮v 域-1时，取等号 y X 所以，原式的最小值为2. 总结 以上四种策略，是用基本不等式解决最值问题的常用方法。无论是配凑系数 与项、分离分子与分母