南京航空航天大学矩阵论07-08A试卷及答案
南京航空航天大学 研究生考试试卷 共5页 第1页 二00七〜二00八 学年第一学期《 矩 阵 论》课程 考试日期:2008年1月16日试卷类型A课程编号:A000003 学院学号姓名成绩 >0,其中 An e Ckxk (5 3 2、 B成立? 证明:An >0, A22-A^A^Al2>0o 已知Hermite矩阵A = (。〃)e C*”,与〉£幅| (,= 1,2,・・・,“),证明:A正定 j* (20 分) 人-1 -1 2 2 人+ 2 -3 1 1 人一1 矿 解:(1) l〃 一 (2) (3) (4) A的特征多项式为人3, A的行列式因子:1,1,7; A的特征值4 =扁=4 = 0 A的不变因子:1,1,人3; A的初等因子:矛; 因为k。。,A3 =0, A的最小多项式尤; A6+3A-2/ = 3A-2/ f 1 -6 、一3 3 -8 -3 -6、 9 A的Jordan标准形 ‘0 0 ,0 0、 1 oj 二、(20 分) 解:(1) R2X2的维数为勺一组基 ‘1 0、 [0 1、 [0 0、 。0、 、0 0; 0 0; 1 0; \0 1, :.A + BeW; (2) \/A,BeW ,\/ke R,贝ijv (A + B)r = A1 + BT = A+ B, ••• (M)r = kN = kA-, /.Me W。对加法和数乘封闭,所以是R2X2的子空间。 W的维数为3, 一组基A (1 、0 0、 ‘0 1、 J 0/ ‘0 、0 0、 1〕 c ⑶G=A,片=疏 (1 、0 0、 C3 = A3 — (A3,Bl)B} — (A3,B2)B2 ‘0 、0 0、 b B — G 3-hi ‘0 、0 0、 b 所以 1) 0, ‘1 0、 、0 0, ‘0 0、 、0 1〕 为w的一组标准正交基。 0 1、 R_1 | > 0 l,J 若 A = 0,则 3〃=0, Vz, j , ||= n - max|^.| = 0 X/ke C , |冏L = n • max.J = VA,Be C ,xn, ||A+5|| n • max % + bA 0时 A>B 成立 即一 2 A; 盅2 / 时A> B成立。 10分 (2) V A = >0, A1为A的前k阶顺序主子式,An > 0 o 存在可逆