南京航空航天大学矩阵论07-08A试卷及答案

南京航空航天大学 研究生考试试卷 共5页 第1页 二00七〜二00八 学年第一学期 矩 阵 论课程 考试日期2008年1月16日试卷类型A课程编号A000003 学院学号姓名成绩 1 1-2、 、20分设矩阵A -2 -2 3 T L 1 求A的特征多项式和A的全部特征值； 2 求A的行列式因子、不变因子和初等因子； 3 求A的最小多项式，并计算A63A-2I； 4 写出A的Jordan标准型 二、20分设RX是实数域r上的全体2x2实矩阵构成的线性空间按通常矩阵的加法和数与 矩阵的乘法。 1 求R2X2的维数，并写出其一组基； 2 设W是全体2x2实对称矩阵的集合， 证明W是722的子空间，并写出W的维数和一组基； 3 在W中定义内积A,B trBA,其中A,BeW ,求出W的一组标准正交基； 4 给出 R22上的线性变换7 TA AAt, VAe R2x2 写出线性变换7在1中所取基下的矩阵，并求7的核KerT和值域RT。 三、20分 13、 设A ； J，求网，|飓，||址，||他； 设 A q e Cnxn,令 ||现* n - max|aJ. |, 证明|| ||是Cnxn 的矩阵范数并说明具有相容性; 证明 n 55。 -1 1 1 0 1 （20 分） 已知矩阵人 0 0 1 ,向量力 1 、 0 b 求矩阵A的QR分解; 计算疽； 用广义逆判断方程组Ax b是否相容若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。 （20 分） 设n阶Hermite矩阵A /1222 0,其中 An e Ckxk （5 3 2、 0 1 2、 设矩阵A 3 2 t ,B 1 1 0.5f I2 t 0.57 1 ， ,其中7为实数, 问当7满足什么条件时, A B成立 证明An 0, A22-AAAl20o 已知Hermite矩阵A （。〃）e C*”,与〉幅| （， 1,2,・・・，），证明A正定 j* （20 分） 人-1 -1 2 2 人 2 -3 1 1 人一1 矿 解（1） l〃 一 2 3 4 A的特征多项式为人3, A的行列式因子1,1,7； A的特征值4 扁4 0 A的不变因子1,1,人3； A的初等因子矛； 因为k。。，A3 0, A的最小多项式尤； A63A-2/ 3A-2/ f 1 -6 、一3 3 -8 -3 -6、 9 A的Jordan标准形 ‘0 0 ,0 0、 1 oj 二、（20 分） 解（1） R2X2的维数为勺一组基 ‘1 0、 [0 1、 [0 0、 。0、 、0 0； 0 0； 1 0； \0 1, .A BeW； 2 \/A,BeW ,\/ke R,贝ijv A Br A1 BT A B, （M）r kN kA-, /.Me W。对加法和数乘封闭，所以是R2X2的子空间。 W的维数为3, 一组基A 1 、0 0、 ‘0 1、 J 0/ ‘0 、0 0、 1〕 c ⑶GA，片疏 1 、0 0、 C3 A3 A3,BlB} A3,B2B2 ‘0 、0 0、 b B G 3-hi ‘0 、0 0、 b 所以 1 0, ‘1 0、 、0 0, ‘0 0、 、0 1〕 为w的一组标准正交基。 0 1、 R_1 0 1、 、1 0; ，2向克 1 0 2 0 0 0、 （4） 7在（1）中所取基下的矩阵为。1 1 。； 7的核Aer（T） Jf k}ke 7L 0 0 0 2； 7 的值域 RT 5/7tznA1,A2M3} W o 5 分 三、20分 解⑴间11 4，IK 应，间L 6 IK 顶；8分 2若 A/0,则至少有一个 q/0, ||a||； n - max|o;| 0 l，J 若 A 0,则 3〃0, Vz, j , || n - max|.| 0 X/ke C , |冏L n max.J VA,Be C,xn, ||A5|| n max bA n max|。；； ij 1 J J H-max|| ||4||4 l, J 所以|| ||*是CX上的矩阵范数。 IM* n-maxEaA V 小 max ZhfzKj l,J i,jl,J V k k n n- max幅.「〃. max妇之 . 4n max］为 据蜜x|妇 ||O|* \I, JI, JI, JI, J 所以II II*是CX上的相容矩阵范数。8分 ⑶ |知AUAF ||aE Zk|2 V W max|,|2 ||A||，.. || ||绯 il 不妨设max|a,| |o|,则 |地吁叫甫 记x0ejf,y0e.,则 I, 1， - IIaII2习讨心 |jhlL v Ml2 板;1 综上可知|||4||||4 4分 四、（20分） Vi 「 0 cg、 22 很0 四 V2 V2 n U 2 （1）矩阵A的QR分解A 22 rr 0 4i 0 y 2 2 00 2 00 V2 00 V7 2 J 2 -1 -1、 2 1 1 0 2 2 A ArArAr | -2 2 3 AAb 1.5 AAb b 该方程组不相容。 极小最小二乘解x A/ 1 * 6分 五、（20分） 5 2 0、 1 A 3 2 1 0.5， 0.5/ 1 ， A2 l0, A3 |A-B| 1-|/2 0时 AB 成立 即一 2 A； 盅2 / 时A B成立。 10分 2 V A 0, A1为A的前k阶顺序主子式，An 0 o 存在可逆