华大随机试卷答案(10A)
华侨大学2010级通信《随机信号分析》期末试卷(A卷) 班级 姓名 学号 一. 填空(20分,第4题2分,其余每空3分) 1、若随机变量X=C (C为常数)的特征函数(px (v) = ejCv ,则X的三阶矩为 2、已知平稳随机过程X(f)的自相关函数为Rx (r)=16 + —则X(f)的均值为 1 + 5凤 ±4 ,方差为 o 3、窄带信号 x(r) = A(r) co ia)ot +的希尔伯特变换是x(t) = A(Z)sin(a>0? + 4、匹配滤波器是准则下的最优线性滤波器。 5、某电话交换台在[0,t]时间内转接的电话呼叫次数为N(t),平均每分钟转接电话3次, 5 o* 则每分钟转接电话多于5次的概率为P{N(t) > 5} = 1- Z= 0.0839。 k=o切 二、(13分)设有随机过程XO=AcosTTt,其中A是均值为零,方差是2的正态随机变量,求: (1) X。)的均值函数和自相关函数; (2) X(l)和X(l/4)的概率密度函数; (3) XQ)是否为广义平稳随机过程? (4) X(f)是否均值各态历经? 解(1) E[X(r)] = E[A cos 7rt} =cos m = 0 Rx (f +「,,)= E[A cos 7r(t+ r)A cos >n] = E[A: ]cos+ r) cos /rt 2 cos 7r(t + r) cos it = cos iQt + r) + cos ttt 与,有关 (2) 由于正态随机变量的线性变换仍然是正态随机变最,所以 E[X(1)] = O, Var[X(l)] = 2 11(“1 X? .“/ST ” F X(l)= -A,= 21 (3) 因为Rx(r + r,0 = cosjr(2t + r) + costtt 与/有关,所以不是广义平稳随机过程. (4) A[X(0] = a[acos7rt\ = hniJ cos TTtd t= 0 因为E[X(f)] = /[X(f)],所以X(t)是均值各态历经的随机过程。 三、(9分)试判断下列函数可否作为实广义平稳随机信号的自相关函数?若是,请求出对 应随机信号的平均功率;若不是,请说明原因。 2 a) R(r) = —cos中+方七-咐,(a,》,°都是常数) cr2(l-a|r|), |r|oo 2T jtt-»® 2TcoT —1 —1 i T1 T 而+「)= lim—,丫⑺*。+ 泌= lim—j J2cos(^r + ⑦)cos{©(/ + r) + 6}出 —T—T ] ^2 =lim——[-—[cos(2 攻 + 20 + cor) + cos cor]dt 7—8 ^)T J 0 5 -T」 A2 =——cos^r 7 只有在A为常数时,满足X(,)X(,+ r)=&(r)。 欲使X。)是各态历经过程,A必为常数。 五、(12分)理想高斯带通白噪声N(t)是零均值平稳的。它的中心频率为3o,带宽为B(Hz), 双边谱密度为No/2,它的两个正交分量为X。)与y(0o求(1) 的同相分量X。)的相关系 数px⑴;(2)写出N(t)的正交分量的概率密度函数加>,刃;(3)写出N(t)的两个分量的联合 概率密度函数fxY(X,y;tl,t2)o 解: (1)由公式,正交分量的功率谱为 |tv| PxW)=—= (2)正交分量具有高斯分布,并与N(t)有同样的方差,Y(t)~N(O,N°B),于是, 1V2 hS)= Iexp[-———] 』2兀阳2N0B (3)由公式,两个分景的互谱为0,根据高斯特性,它们彼此独立。又它们有相同分布,于是 1 x2 + y2 =右(x;4)5O;,2),.pexp[- ] 2ttN0B 2ATo5 六(12分)双边功率谱Sx(“=M々的零均值平稳白噪声随机信号XQ),通过如图所示的线 性系统后,得到随机信号丫。)。其中R=L L=L试求:(1) 丫。)的平均功率(2)系统的 等效噪声带宽。 解(1)r。)广义平稳, 顷)= R + jyvL 2R + pvL m-i m+2 ST(w) = Sx (w) |H(w)|2 = ¥ 二: 2 w“ + 4 %(「) = “Is/w)]=尊5(「)-弩 e州 N 3 V 与=&(0)=《_司 Z o (2) 叭,=2咽(。) n°.|h(o)「 =7T 七、(12分)设理想低通滤波器得传递函数为H(3)=g20g(3),当输入为时2cos(50nt) +n(t) 时,测得系统输出功率为3W。若必f)为零均值高斯白噪声,试求滤波器输出信号的一维概 率密度函数。 解:根据题意,余弦信号的频率在通带内,在输出端产生2W的功率。因为余弦信号是确定 信号,与噪声独立。 因此输出噪声为1W的高斯白噪声概率密幔函数为h(n) = 42jt exp奇/2], 输出信号Y(t) = 2cos(1007rt) + N(t),为非平稳随机信号。 E[Y(t)] = E[2cos(lOO.Tt) + N(t)] = 2cos( 100 xt)与 t 有关 D[Y(t)] = D[2cos(l 0&t) + N(t)] = D[N(t)] = l 其概率密度函数为 f(y,t) = exp ([p-2 cosfl OOjrt)]■ / 2) 八、(12分)设马尔科夫链的