中考数学复习指导:对称变换在几何证明中的应用
对称变换在几何证明中的应用 对称变换是初中几何证明中的重要方法之一.根据本人的体会,我总结了对称变换应用 于几何证明的基本要素,就是在同一图形中,把图形中局部图形进行位置变换,使局部图形 的尺寸、角度等两个参数均不变,把原图中互不关联的线段联系起来,从而为证明铺平道路. 若图形中有角平分线、等腰三角形、正方形、菱形、线段平分等已知条件,就有了对称 变换的基础,有时需要添加辅助线以创造这个条件. 一、旋转对称变换类型 1.图形中有一组线段相等并且相互有共同联结点 例1 如图1(1), AABC中,。为线段的中点,EDLFD,求证:EB+FOEF. (1)(2) 图1 分析 两条线段与第三条线段之间的关系,必须在同一三角形内才能比较,题目及图 形中,EB、EF、FC三条线段不在同一三角形内,所以必须把三条线段或三条线段的等量代 换线段放在同一三角形内,才能做出比较. 这是一道经典题,这里应用旋转对称变换进行证明,图1(2). 证法1在左FEF中, FD = F D ABDFr = ZCDF ED 1 FF .F、D、尸在一直线上. 由于 F D^DF. :.△££>/为等腰直角三角形,EF=EF . :在△BFE 中, BE+BF =EF =EF. :.EB+FOEF. 证法2已知条件中,因为BD=DC,可以根据两段相等并且相互有共同联结点的特点, 应用旋转对称变换进行分析、推理、证明:以Q为旋转中心,把旋转180。变换至 △DF,B的位置(图1(2)),就说明了△££>/为等腰直角三角形,EF=EF . 又在尸E 中,BE+BF =EF =EFo :.EB+FOEF. 注 上面两种证明方法可以看出,旋转对称变换是整个图形的位置变换,不需再对图形 的线段长度进行证明.若添加辅助线组成新图,还需证明新图△BFQ与原图△QFC的全等, 然后得到线段的等量代换的结论,证明过程比较繁琐. 2.图形中有两线段相等并且相互有共同的联结点 此时,首先考虑以其中短的线段的中点为旋转中心来解题,实现局部图形代换,把原图 中互不关联的线段变换联系起来,从而打开证明思路. 例2 如图2(1),在/XABC中,CD=AB, ZBAD=ZBDA, AE是边的中线,求证: AC=2AE. 分析题中有两个线段平分的已知条件,以其中较短的线段作为分析的切入点,以 线段中点E为旋转中心,将△AEB旋转180°至膈即位置(如图2⑵). AA =2AE, AB=A D. 可以看出,只要证明AC^AA ,即证明△ AQC丝出. 在△ADC、AADA ^P,已DC=DA , AZ)为公共边. 接下来只要找到一对对应角相等,就能得到两个三角形全等. •? ZADC=ZB+ZBAD = ZB+ZBDA, ZADA = ZBDA+ ZA DB =ZBDA+ZB, :.ZADC=^ADA . :.AADC^AADA . :.AC=AA ^2AE 二、轴对称变换类型 轴对称变换的首要条件是图形及己知条件中必须有角平分线.若题中已知条件中具有角 平分线,应想到尝试用轴对称变换分析题目. 1.图形中有内角平分线 例 3 图 3 (1)中,AC=BC, Z1=Z2, ZC=90° ,证明:BD=2AE. 分析 题目及图形中,BQ为直角等腰三角形AC8中的角平分线,首先想到用轴对 称变换分析.以角平分线BE为对称轴,把RtAAEB变换至△AEB位置(图3 (2)).图3⑵ 清晰表明,AE=A E(轴对称对应边相等),AA为RtAATA的斜边,AA ^2AE, BD为RtABCD 的斜边.可见,只要证明RtAACA( ^RtABCZ),就能得到BD=AA,=2AE. /2+/4=90° , Z3+Z4=90° , :.Z2=Z3. 在 Rt△出CA、RtABCD 中: /2=/3, AC=BC, :.RtAA CA^RtABCD. :.BD=AA =AE+A E^2AE. ⑴(2) 图3 2.图形中有外角平分线 例4 图4(1), AD为Z\ABC中/A外角的平分线,求证:AB+AC