中考数学复习指导：对称变换在几何证明中的应用

对称变换在几何证明中的应用 对称变换是初中几何证明中的重要方法之一.根据本人的体会，我总结了对称变换应用 于几何证明的基本要素，就是在同一图形中，把图形中局部图形进行位置变换，使局部图形 的尺寸、角度等两个参数均不变，把原图中互不关联的线段联系起来，从而为证明铺平道路. 若图形中有角平分线、等腰三角形、正方形、菱形、线段平分等已知条件，就有了对称 变换的基础，有时需要添加辅助线以创造这个条件. 一、旋转对称变换类型 1.图形中有一组线段相等并且相互有共同联结点 例1 如图11, AABC中，。为线段的中点，EDLFD,求证EBFOEF. 12 图1 分析 两条线段与第三条线段之间的关系，必须在同一三角形内才能比较，题目及图 形中，EB、EF、FC三条线段不在同一三角形内，所以必须把三条线段或三条线段的等量代 换线段放在同一三角形内，才能做出比较. 这是一道经典题，这里应用旋转对称变换进行证明，图12. 证法1在左FEF中, FD FD ABDFr ZCDF ED 1 FF ...F、D、尸在一直线上. 由于 FDDF. .△/为等腰直角三角形，EFEF. 在△BFE 中， BEBFEFEF. .EBFOEF. 证法2已知条件中，因为BDDC,可以根据两段相等并且相互有共同联结点的特点， 应用旋转对称变换进行分析、推理、证明以Q为旋转中心，把旋转180。变换至 △DF，B的位置图12,就说明了△/为等腰直角三角形，EFEF. 又在尸E 中，BEBFEFEFo .EBFOEF. 注 上面两种证明方法可以看出，旋转对称变换是整个图形的位置变换，不需再对图形 的线段长度进行证明.若添加辅助线组成新图，还需证明新图△BFQ与原图△QFC的全等， 然后得到线段的等量代换的结论，证明过程比较繁琐. 2.图形中有两线段相等并且相互有共同的联结点 此时，首先考虑以其中短的线段的中点为旋转中心来解题，实现局部图形代换，把原图 中互不关联的线段变换联系起来，从而打开证明思路. 例2 如图21,在/XABC中，CDAB, ZBADZBDA, AE是边的中线，求证 AC2AE. 分析题中有两个线段平分的已知条件，以其中较短的线段作为分析的切入点，以 线段中点E为旋转中心，将△AEB旋转180至膈即位置如图2⑵. AA2AE, ABAD. 可以看出，只要证明ACAA,即证明△ AQC丝出. 在△ADC、AADAP，已DCDA, AZ为公共边. 接下来只要找到一对对应角相等，就能得到两个三角形全等. ZADCZBZBAD ZBZBDA, ZADA ZBDA ZADB ZBDAZB, .ZADCADA. .AADCAADA. .ACAA2AE 二、轴对称变换类型 轴对称变换的首要条件是图形及己知条件中必须有角平分线.若题中已知条件中具有角 平分线，应想到尝试用轴对称变换分析题目. 1.图形中有内角平分线 例 3 图 3 1中，ACBC, Z1Z2, ZC90 ,证明BD2AE. 分析 题目及图形中，BQ为直角等腰三角形AC8中的角平分线，首先想到用轴对 称变换分析.以角平分线BE为对称轴，把RtAAEB变换至△AEB位置图3 2.图3⑵ 清晰表明，AEAE轴对称对应边相等，AA为RtAATA的斜边，AA2AE, BD为RtABCD 的斜边.可见，只要证明RtAACA RtABCZ,就能得到BDAA，2AE. /2/490 , Z3Z490 , .Z2Z3. 在 Rt△出CA、RtABCD 中 /2/3, ACBC, .RtAA CARtABCD. .BDAA AEA E2AE. ⑴2 图3 2.图形中有外角平分线 例4 图41, AD为Z\ABC中/A外角的平分线，求证ABACBEEC. 分析 AD为ZVIBCZA外角平分线，即Z1Z2,以AD为对称轴，作Z\C4E的轴对称 变换图ZXC么图42. ACAC, ECEC，； 又在/XBCE中， ABACBEEC. .ABACBEEC. 三、复合对称变换 复合对称变换就是把旋转对称变换和轴对称变换两类对称变换结合起来分析解题.这类 题目比较特殊，一般基本图为正方形，图形及已知条件中具有旋转对称变换或轴对称变换的 要素，而旋转对称变换或轴对称变换的要素，需在进行对称变换或轴对称变换后才能发现. 例5 图51正方形ABCD中，/DAP/ADP15 ,求证△8PC为等边三角形. 分析图形为正方形，具有旋转对称变换的条件，以Q4为旋转中心，把旋 转90变换至图5 2 ADPC位置.但此位置还未明了与△BPC之间的联系，而且 ADPC在正方形ABCD的外侧.必须把变换至正方形ABCD的内侧，即以DC为轴 对称轴，把△DPC轴对称变换至图5 3中△DPC位置，然后连结FF.可见，图形经过 旋转对称变换一轴对称变换的复合对称变换后，把△8PC与△AFQ联系起来. 接下去证明△ BPC为等边三角形，即证明PCPBBC. ・.・ ZADPZCDP,,15 ・ ・.・ ZPDPZADC ZADPZCDPn 90 -2X15 60 ・ DPDPn. MPDP 60。， 在左PDF 〃中， [DP DP, .△PDF”为正三角形. ZDPnCZAPC 180 -2X15 150 ・ /DF〃F60 ・ ・.・ APPnC360 ZDPCZDPP 360 -150 -60 150 ・ 在 Z\PP 〃。与△F〃C 中， PP DP PC为公共边 』PPC /DPC 150 ・.・ APPCADPC. ・.・ CDCP. .PCPBBC. .4BPC为等边三角形. 对称变换能使图中的各种关系明朗化，可以促进思维方法和解题能力的提高.在几何 证明中，我们要善于在实践中总结经验、掌握规律，从而提高逻辑思维能力，并在数学学习 中有所创新.