高三数学总复习---正弦定理和余弦定理教案
高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案 教学目标: 1、掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形. 2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点. 3、常与三角恒等变换相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 教学重点:①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式. ② 能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形. ③ 能解决与三角形有关的实际问题. 教学难点:①根据已知条件判定解的情形,并正确求解. ②将实际问题转化为解斜三角形. 教学过程 一、基础回顾 1、正余弦定理 正弦定理:土=一土 =2R(其中R >3 A ABC外接圆的半径). smA sinB sinC 余弦定理 a2=b2+c2—2 bccosA, b2=a2 + c2—2accosB; c2 = a2+b2—2abcosC 2、变形式 ① a = 2RsinA , b = 2RsinB , c = 2RsinC;(其中 R 是^ABC 外接圆半径) ② a : b : c=sinA: sinB: sinB i 2 I 222 I 2 i 22 I I 22 b +c —aa 十c —ba 十b —c (3)COSA —~, COsB^ 7?, COsC \. zbcZaczab 3、三角形中的常见结论 (1) A+B + C= n. (2) 在三角形中大边对大角,大角对大边:A>B a>b sinA>sinB. (3) 任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4) A ABC的面积公式 ①S=|a • h(h表示a边上的高); 111abc (2) S=~absinC=~acsinB=~bcsinA=_T7_; ZZZ4K ③ S=-|r (a+b + c) (r为内切圆半径); ④ S=―(P—b)―,其中 P=~(a+b + c). 二、基础自测 1、在AABC 中,若ZA=60° , ZB=45° , BC=3差,则 AC=. 2、在AABC 中,a=yf^, b=l, c = 2,则 A=. 3、在AABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,若a=2bcosC,则此三角形一定 是 三角形. 4、已知AABC的三边长分别为a、b、c,且a2+b2—c2=ab,则匕C=. 5、在ZXABC 中,a = 3带,b = 2“5, cosC=|,则 ZXABC 的面积为― 0 三、典例分析 例1 (2013・惠州模拟)ZXABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, asm Asin B+ bcosiA=-\[2a. (1) 求«;(2)若 c1=b2+y[3a2,求 B. 解:(1)由正弦定理,得asin B=bsin A, 又 asin Asin B+bcos2A=^2a, .*.bsin2A+bcos2A=-\/2a,即 b=yf^a,因ji^r=y[2. (2) 由c2=b2+^/3a2及余弦定理,得 a2+c2—b2( 1+a/3) a cos B— ~= o 2ac2c 又由⑴知,b=^/2a, Ab2=2a2, 因此 c2= (2+^3)a2, c=^2+柬a 代入(*)式,得COS B=y X 0