高三数学总复习---正弦定理和余弦定理教案

高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案 教学目标 1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形. 2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点. 3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 教学重点①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式. ② 能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形. ③ 能解决与三角形有关的实际问题. 教学难点①根据已知条件判定解的情形，并正确求解. ②将实际问题转化为解斜三角形. 教学过程 一、基础回顾 1、正余弦定理 正弦定理土一土 2R其中R 3 A ABC外接圆的半径. smA sinB sinC 余弦定理 a2b2c22 bccosA, b2a2 c22accosB； c2 a2b22abcosC 2、变形式 ① a 2RsinA , b 2RsinB , c 2RsinC；其中 R 是ABC 外接圆半径 ② a b csinA sinB sinB i 2 I 222 I 2 i 22 I I 22 b c aa 十c ba 十b c 3COSA , COsB 7, COsC \. zbcZaczab 3、三角形中的常见结论 1 AB C n. 2 在三角形中大边对大角，大角对大边AB ab sinAsinB. 3 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 4 A ABC的面积公式 ①S|a hh表示a边上的高； 111abc 2 SabsinCacsinBbcsinA_T7_； ZZZ4K ③ S-|r ab c r为内切圆半径； ④ SPb,其中 Pab c. 二、基础自测 1、在AABC 中，若ZA60 , ZB45 , BC3差，则 AC. 2、在AABC 中，ayf, bl, c 2,则 A. 3、在AABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a2bcosC,则此三角形一定 是 三角形. 4、已知AABC的三边长分别为a、b、c,且a2b2c2ab,则匕C. 5、在ZXABC 中，a 3带，b 2“5, cosC|,则 ZXABC 的面积为 0 三、典例分析 例1 2013・惠州模拟ZXABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, asm Asin B bcosiA-\[2a. 1 求;2若 c1b2y[3a2,求 B. 解1由正弦定理，得asin Bbsin A, 又 asin Asin Bbcos2A2a, .*.bsin2Abcos2A-\/2a,即 byfa,因jiry[2. 2 由c2b2/3a2及余弦定理，得 a2c2b2 1a/3 a cos B o 2ac2c 又由⑴知,b/2a, Ab22a2, 因此 c2 23a2, c2柬a 代入*式，得COS By X 0B Ji ,所以 B 规律方法1.运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标.若已知两 边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理. 2. 在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须 判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用. 例2、2013 -合肥模拟已知AABC的三个内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,向 A7 里 nf- 4, 1, z cos cos 2A, 日.m , 1 求角A的大小； 2 若b c 2a2出，试判断ZXABC的形状. 解1・.・应4, 1, n cos2-, cos 2A, ・勿. t4cos2cos 2A4 十；2cos2t41 2cos2J2cos A3. 乂 勿・n, 7i 2cos2t42cos A3,解得 cos A. ji \*0A Ji , .\A. u 2在△，况7中，al} c22Zccos A,且 ay[3, 32Z2 c2bc ,cbc.① 又,「b c 2柬,. b 2欢c, 代入①式整理得c22y[3c3 0f解得cy/3f .\by[3, 于是abcy/3f即△Aft为等边三角形. 规律方法判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化.无论使用哪种方法, 不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能. 例3、2012・课标全国卷已知a, b, c分别为Z\ABC三个内角A, B, C的对边，acos C asin Cbc0. 1 求 A； 2 若a2, AABC的面积为,，求b, c. 解1由 acos。寸5asin Cbc 0 及正弦定理得 sin Acos Cy[3sin Ksin C sin sin 00. 因为 B Ji AC,则 sin 8 sin Acos Ccos /sin C. 所以/sin Ksin Ccos /sin Csin C0. ji 1 由于 sin 所以 sin- b Z ji 又 0A n ,故 A 2 AABC的面积 Sbcsin Ay3,故 Zc4.① 又 at} c2bccos A,故 Z2 c8.② 由①②联立，得b c2. 四、练习 变式练习1 2012 -浙江高考在ZXABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且bsin A/3acos B. 1 求角B的大小； 2 若 b 3, sin C 2sin A,求 a, c 的值. 变式练习2在ZXABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asin A 2b c sin B 2c b sin C. 1 求A的大小； 2 若sin B sin Cl,试判断ZXABC的形状 五、作业布置 六、板书设计 1、正余弦定理 2、变形式 3、三角形中常用结论 典例分析 七、教学反思