高三数学浅谈解析几何中的定比分点全国通用
浅谈解析几何中的定比分点 解析几何是我们高中阶段的重要内容,很多同学怕解析几何,说到底是怕解析几何中的计 算,特别是方法用得好不好会直接影响到计算的繁简,而定比分点是我们解析几何中十分重要的 一块内容,无论是课本还是平时的练习题,定比分点内容都占一定的比重,定比分点用得好会简 化较多的计算。 定比分点用法较多,大体分为:直接与间接。直接用法有三种: 1、定义直接用:AP = 1PB (采用向量来解决) 例如 在AOAB中,OA = a,OB = b, 0D是AB边上的高,若AD = AAB,则实数人等于 () a-(b-d)a・(a—b)a . (b — a)a・(a-b) A B C—i;—D Z>-a|la-Z>|\a-b 本题直接采用向量来解答: AD = AAB n OD-OA = A(OB-OA) n OD = AOB+(l-^OA OD AB = O n A = a-(a-b) IT 2、直接用公式 x =xa+axb=yA+AyB; 入p 1+21+2 3、直接用向量相等(Xp_x^yP-y)或(1b~xPyB -yf° 直接用定义做的题比较少,因为直接用定义,不能较好训练学生的思维,采用间接的题型比 较多,大致有以下几种: 一、将线段比转化为定比分点 例如:已知*(4,—3),g(—2,6),且 田尸| = 2“巳|,求适合条件的点P坐标。 分析:这你种题较简单,解题过程不赘述,这是典型的将线段转化为定比分点来解决。 二、将定比分点转化为线段的比,从而用几何法解题。 例如:设椭圆E: ——+寸=1的两个焦点是R(—c,0)与§(c,0) (。〉0),且椭圆上存在一 m + 1 点P,使得直线PFi与直线PF?垂直,(1)求实数m的取值范围;(2)设Z是相应焦点耳的准线, 直线PF?与/相交于点Q,若匹 =(2-泪P,求直线PF2方程。 解:(1) m>l; (2)设 P(x0,j0) 点P在椭圆上得+片=1㈠ m + 1 因为直线PFi与直线PF2垂直 所以 旦!」x业=—1 (c x0 +c x-c 由㈠㈡得毛= 由 QF2=(2-y/3)F2P知 m=2 x0 =—— o 此时 E(J^,O) 所以直线PF2方程为 )=±(、厅—2)(]一扼)。 本题把匹=(2-转化为相似比来解决,从而使问题化难为易。 三、求某些值或者某些最值时,可转化为定比分点,从而使问题清晰化,解题思路明确。 例如(2006南通九校联考)巳知椭圆E的方程为 2222 土+ % = l(a>Z?>0),双曲线H: -—-^7- = 1 a ba b 的两条渐近线为4, /2,过椭圆E的右焦点F的直线 5,又/与交于点P,设与椭圆E的两个 交点由上至下依次为A, Bo (1)当4, /,与夹角为60°,且。2+力2=4时,求椭圆E的方程。(2)求倒的最大值。 12|AP| 看见这道题很容易想到用第二定义去做,结果发现比值依赖的范围,而XA的范围需要解方程组, 从而使问题复杂化,若使用定比分点则问题变得简洁。 」、b 解:(1)略。(2)不妨设,:y = —x a z 、 y = --(x-c) b y = -?(x-c) b b y =——x a “2 X =— C ab y =— c Qn a1 ab 即P(—,——) c c 1 a2 c + 2—— 设A分时的比为4,则以J 1 + 2 1 ab A C 1 + 2 2 )代入,并整理 人2=_ (2-e2) +——? 2-e a 而 ee(O, 1 所以人2 ^5 ),且cosRPE的最小值为-;。(1)求动点P的轨迹方程; (2)若已知点D (0, 3), M、N在动点P的轨迹上,S.DM=ADN,求实数人的取值范围。 22 解:(1)点P的轨迹方程为 —+^ = 1 94 (2)解法一:设肱(%[必),N(x2,y2) OM = (%,,^) , DN = (x2,y2 -3) %; = Ax2 (%1,y1) = 2(x2,y2-3) n =2(y2-3) (22 土+也=1 94 132-5 62 => 人 c 与,5]。 22 所以 世+里=1 94 M = 2x2 >1 =人(鬼一3) 1 33 _ ■) 而 y2e[-2,2] 所以 ■ <2 6A 上面的解法,属于纯解析几何解法,其实, 我们可以用几何办法很快解决。 如图:图一,是最大的时候,A-5 图二是最小的时候,A =— 5 六、根据定比分点中人的范围求最值或值域。 例如 已知O、A、B三点的坐标分别为O (0, 0)、A (3, 0)、B (0, 3),点P在线段AB上,且,则Q4・QP的最大值为 () A 3 B 6C 9D 12 11 解:设 AP = AAB, n OP — OA = 4(OB—OP)n OP =——OB + ——OA 1 + A1 + A OA OP = OA (^—03 + ^—04) = ^—x6 + ^—x9 = ^t£ = 6 + ^- 1 + A1 + A1 + A1 + A 1 + 21 + A 3 2e[0,+oo)^l + 2e[l,+oo)^ ——e(0,3],所以答案选 C 。 1 + 2 这种题显然是利用2的取值范围来求值简单。 七、比而不求,转化为向量平行来解决。 我们看这样一道题目,看似定比分点,仔细审题,这道题其实可以比而不求,转化为向量平行 来解决。 r2 3v2 例如 已知椭圆一+ 工 =1的弦PB过其中心O,点A是椭圆的右顶点,满足PAPB = 0 44 2网=|刑。 (1) 求点P坐标;(2)若椭圆上有两点C、D (异于