高三数学浅谈解析几何中的定比分点全国通用

浅谈解析几何中的定比分点 解析几何是我们高中阶段的重要内容，很多同学怕解析几何，说到底是怕解析几何中的计 算，特别是方法用得好不好会直接影响到计算的繁简，而定比分点是我们解析几何中十分重要的 一块内容，无论是课本还是平时的练习题，定比分点内容都占一定的比重，定比分点用得好会简 化较多的计算。 定比分点用法较多，大体分为直接与间接。直接用法有三种 1、定义直接用AP 1PB 采用向量来解决 例如 在AOAB中，OA a,OB b, 0D是AB边上的高，若AD AAB，则实数人等于 a-b-da・aba . b aa・a-b A B Ci；D Z-a|la-Z|\a-b 本题直接采用向量来解答 AD AAB n OD-OA AOB-OA n OD AOBl-OA OD AB O n A a-a-b IT 2、直接用公式 x xaaxbyAAyB; 入p 1212 3、直接用向量相等Xp_xyP-y或1bxPyB -yf 直接用定义做的题比较少，因为直接用定义，不能较好训练学生的思维，采用间接的题型比 较多，大致有以下几种 一、将线段比转化为定比分点 例如已知*4,3,g2,6,且 田尸| 2巳|,求适合条件的点P坐标。 分析这你种题较简单，解题过程不赘述，这是典型的将线段转化为定比分点来解决。 二、将定比分点转化为线段的比，从而用几何法解题。 例如设椭圆E 寸1的两个焦点是Rc,0与c,0 。〉0,且椭圆上存在一 m 1 点P,使得直线PFi与直线PF垂直，（1）求实数m的取值范围；（2）设Z是相应焦点耳的准线, 直线PF与/相交于点Q,若匹 （2-泪P,求直线PF2方程。 解1 ml； 2设 Px0,j0 点P在椭圆上得片1......㈠ m 1 因为直线PFi与直线PF2垂直 所以 旦」x业1 （c x0 c x-c 由㈠㈡得毛 由 QF22-y/3F2P知 m2 x0 o 此时 EJ,O 所以直线PF2方程为 ）（、厅2）（］一扼）。 本题把匹（2-转化为相似比来解决，从而使问题化难为易。 三、求某些值或者某些最值时，可转化为定比分点，从而使问题清晰化，解题思路明确。 例如（2006南通九校联考）巳知椭圆E的方程为 2222 土 laZ0,双曲线H --7- 1 a ba b 的两条渐近线为4， /2,过椭圆E的右焦点F的直线 5,又/与交于点P,设与椭圆E的两个 交点由上至下依次为A, Bo （1）当4， /,与夹角为60,且。2力24时，求椭圆E的方程。（2）求倒的最大值。 12|AP| 看见这道题很容易想到用第二定义去做，结果发现比值依赖的范围，而XA的范围需要解方程组, 从而使问题复杂化，若使用定比分点则问题变得简洁。 」、b 解（1）略。（2）不妨设，y x a z 、 y --x-c b y -x-c b b y x a 2 X C ab y c Qn a1 ab 即P, c c 1 a2 c 2 设A分时的比为4,则以J 1 2 1 ab A C 1 2 2 代入，并整理 人2_ 2-e2 2-e a 而 ee（O, 1 所以人2 2 3 （皿一1尸 艮口 2 的最大值为厄-1。 AP 四、定比分点与整体代换思想联系在一起。 22 e2, （1）求双曲线的渐近线方程；（2）若A、B分 例如 双曲线H 7- 1的离心率 tr 3 别为I*匕上的动点，且2|仙|5|4乌|，求线段AB中点M的轨迹方程。 略解（1）渐近线方程xJ5y 0。 （2）设 A（j3yA 心，ByB,yB} A, B 中点 M x, y t_a/3va-vb A 2 v 2aA .2 2 yA yB 2y \AB\ 10 yA-yBr yA-yBr 所以中点M的轨迹方程 4/36y2 300 五、直接求定比分点中的人的值 像这种求人的题，我们可以直接通过定比分点定义计算得到，也可以用几何办法解决。 22 例如2004.5月黄冈市、荆州市联考已知动点P到双曲线匕1的两个焦点Fi ,F,的距 23 离之和为定值2a 5 ,且cosRPE的最小值为-；。1求动点P的轨迹方程； 2若已知点D 0, 3, M、N在动点P的轨迹上，S.DMADN,求实数人的取值范围。 22 解1点P的轨迹方程为 1 94 2解法一设肱［必，Nx2,y2 OM ,, , DN x2,y2 -3 ； Ax2 1,y1 2x2,y2-3 n 2y2-3 22 土也1 94 132-5 62 人 c 与,5]。 22 所以 世里1 94 M 2x2 1 人鬼一3 1 33 _ ■ 而 y2e[-2,2] 所以 ■ 2 6A 上面的解法，属于纯解析几何解法，其实, 我们可以用几何办法很快解决。 如图图一，是最大的时候，A-5 图二是最小的时候，A 5 六、根据定比分点中人的范围求最值或值域。 例如 已知O、A、B三点的坐标分别为O 0, 0、A 3, 0、B 0, 3,点P在线段AB上，且，则Q4・QP的最大值为 （） A 3 B 6C 9D 12 11 解设 AP AAB, n OP OA 4OBOPn OP OB OA 1 A1 A OA OP OA 03 04 x6 x9 t 6 - 1 A1 A1 A1 A 1 21 A 3 2e[0,ool 2e[l,oo e0,3],所以答案选 C 。 1 2 这种题显然是利用2的取值范围来求值简单。 七、比而不求，转化为向量平行来解决。 我们看这样一道题目，看似定比分点，仔细审题，这道题其实可以比而不求，转化为向量平行 来解决。 r2 3v2 例如 已知椭圆一 工 1的弦PB过其中心O,点A是椭圆的右顶点，满足PAPB 0 44 2网|刑。 （1） 求点P坐标；（2）若椭圆上有两点C、D （异于