高三复习二项式拔高讲义精选
二项式(拔高讲义) 【复习提问】 1、(a + by和(b + a)“展开式区别? 答:二者展开式中的项的排列顺序是不一样的,在使用通项公式的时候注意区分。 2、二项式系数与二项展开式的系数的区别? 答:二项式系数指的是C,;,而系数是指参数(未知数)之外的部分,如(a + bxY的第r + 1项 通项公式为T用=C:a i(bxy ,则第r + 1项的二项式系数为C,;,系数为C0F。 3、求展开式中系数最大的项和二项式系数最大项的区别? 答:二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为偶数时,中间项为7;项,当n为奇时, -+1 2 中间项为二+]项,Tn+i项;而系数最大的项一般通过通项公式列不等式的方法来求,还要注意正、负变 ————+1 22 化。 【考点掌握】 考题类型:基本以选择和填空题 二项式展开式逆运用 通项公式运用 考查内容:展开式的系数及二项式系数 展开式为恒等式的运用(赋值法) 非二项式转化为二项式的运用(整除、近似值、多项式展开等) 题型与方法 【典型题型】 展开式逆向运用 展开式系数和的问题(根据二项式展开恒等式定理利用赋值法) 二项式展开式运用证明整除问题或求余问题 近似计算 证明恒等式 二项式展开式通项运用 求特定项< 某一项 常数项 有理项 含“F” (第K项) (参数蓦为0) (参数幕为整数) 的项 二项式展开式的系数或二项式系数问题 【例题讲解】 1、展开式逆向运用 例 1 (x —1)5+5 (x-l)4 + 10 (x-1)3 + 10(x-1)2+5(x — 1) =O 解析:分析此题可以看出(X-1)呈降幕排列,而系数1, 5, 10, 10, 5可以表示为C?C«,C;, 运用展开式逆向法求解,则有 原式=-1)5 + 3 -1)4 +《3 —1)3 + C;(X —1)2 +C/CX-1)1 +C; (%-1)°]-Cf(x -1)° = [(X-1) + 1]5 -l = x5 -1 练习]C; + C; + C; + • •. + C; =o 2、展开式系数和的问题 例 2 设(2- V3x)100 = a0 ++ «2%2 — + %()()舟°, 求下列各式的值: (1) %; (2) % + 句 + % + • • • + “100 ; (3 ) q + % + % + • +。99 ; (4) (% ++ , , • + “100)2 _ (“1 ++ , , , +。99)2 解析:(1)令由于题设为恒等式,令x = 0,则有a0=2100 (赋值法) (2) 令x = 1 ,可得% + q + 的 + • • , + “loo =(2 —① 故 Q] +。2 ++ …+ “100 =(2 _ a/3 )100 _ 2100 (3) 令 X = 1 ,可得 % — Q] +。2 —。3 + • • • + “100 =(2 +,联合(2)的①式,相减得到 (2-V3)100-(2 + a/3)100 《+ % + % a99 = (4) 原式=[(% ++ , • • + “100)+ (。1 + % + . • • +。99)] X [(% ++ • • • + “100)— (“1 + % +,,,+ %9)] =(口。+ % ++。3 • • , + “100 )(。0 —。1 +—。3 • • , + “98 — “99 + “100 ) = (2-0)1。。(2 + 0)i°°=l 练习 3 设(3%一 2)6 = a6x6 + a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + aYx + % ,求。°, % + % + % +。3 +。2 + 4 + %。 练习 4 若(1 + jv) + (1 + x)2 + (1 + x)3 +,,• + (! + x)n = % + u^x +,且% + q +— 254 ,贝U n= 习 5(x — 1)脂=% + ciyX + 缶子 + • , • +。21必1, 贝U Go +。11 =o 3、整除或求余问题 例3求55焚除以8的余数。 解析:解此类题我们联想到分式计算:斗+工2+••• + %=幺+浦+ . +已,由此将55实构造为 X XX X 多项式相加的形式,运用二项式定理有: 5 宁 5 =(56 — 1沪5 = ^5 5 655 (-1) + C*5 5654 (― 1) + • • • +5任(-1)54 +56° (-1)55 通过观察,(56-1产展开式中前55项均能被8整除,最后一项值为一1,然而余数不可能 为负值,故将前55项除8所得的商减去1,则得到55*除以8的余数为7。 例 4 求证:32n+2 -8n -9 (n^N*)能被 64 整 解析:原式=35 -8n-8-l=9”i -8(〃 + 1)-1 = (8 + l)“+1-8n-9 =8n+1 + C“ • 8“ +-+C“;; • 82 + C:*8(n + l) + l-8n-9 =8n+1 + C\ • 8” + • •・+C:J . 82 =(8“-1 + C\ • 8“ 2 +-+C;;;) • 64 故32n+2 -8n-9能被64整除 练习6 12999除以13的余数是。 练习7当〃是3的倍数时,求证3“ -1是13的倍数。 4、近似计算 例5按下列精度计算0.99、的近似值(1) 0.01 (2)0.0001 解析:将0.99“改写成(1-0.01) 5,则有 (1-0. 01) 5=1 + C5O.OI1 + C;0.012 + C/0.013 + C/0.014 + cfo.oi5 (1) 当精确到0.01时,只需求展开式前三项的和,1+0.05+0.001=1.051,近似值为1.05 (2) 当精确到0.0001时,只需求展开式前四项之和,1.051+0.00001=1.05101,近似值为1.051 练习 7 (1.02)%(精确到 0.001); 0.9996 »(精确到 0.0001 )。 5、通项公式运用(常数项、有理项、第K项、含的项) 例6 (去-*)6的展开式的常数项、有理项、含“X”的项。 解析:求常数项即求变量的指数为“0”的项,首先写出通项公式,然后利用藉函数的运算法 则进行化简,令指数为“0”,求出r的值,即求得常数项;求有理项和含的项与求常 数项一样,即先化简,然后分别令指数为正整数和令指数的值为奴然后解的r 的值,即可求得所求项。 求第K项,记得按r+1项写出通项(r+l=K),即可求得所求项. 首先写出(去-4=)6通项公式前将二项式化为3 一)6 ,再由此写出通项公式 y/x % =g)6-r(—2x 2),=《(-2)宇2 =《(-2)宇 常数项:令|-r=0,解得r = 3,求得S=C;(-2尸=—160,故常数项为-160. 有理项:令幺-r= “正整数”(0MT6),解得r = 0,