32-中考数学重难点专题讲座
32-中考数学重难点专题讲座 中考数学重难点专题讲座 第八讲动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路,但是那时 候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来,代几综合题大 概有两个侧重,第一个是侧重几何方面,利用几何图形的性质结合代 数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面,几何性质只是一个引入 点,更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的 分野,很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题,这一讲将重 点放在了对函数,方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函 数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看,要求所构建的 函数为很复杂的二次函数可能性略小,大多是一个较为简单的函数 式,体现了中考数学的考试说明当中〃减少复杂性〃〃增大灵活性〃的主 体思想。但是这也不能放松,所以笔者也选择了一些较有代表性的复 杂计算题仅供参考。 【例1] 如图①所示,直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴 负半轴上.过点B、C作直线.将直线平移,平移后的直线与轴交于点 D,与轴交于点E. (1) 将直线向右平移,设平移距离CD为(tNO),直角梯形OABC 被直线扫过的面积(图中阴影部份)为,关于的函数图象如图②所示, 0M为线段,MN为抛物线的一部分,NQ为射线,且NQ平行于x轴,N 点横坐标为4,求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积. (2) 当时,求S关于的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难,但是非常考验考生对于函数图像的 理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉,反应不上来那个 M点是何含义,于是无从下手。其实M点就表示当平移距离为2的时 候整个阴影部分面积为8,相对的,N点表示移动距离超过4之后阴 影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了 0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二 问建立函数式则需要看出当时,阴影部分面积就是整个梯形面积减去 AODE的面积,于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的 问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系,然后利 用对应关系去分段求解。 【解】 (1) 由图(2)知,点的坐标是(2, 8) 由此判断:; •点的横坐标是4,是平行于轴的射线, • • 直角梯形的面积为:.(3分) (2) 当时, 阴影部分的面积二直角梯形的面积的面积(基本上实际考试中 碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有 割补关系) 【例2】 已知:在矩形中…分别以所在直线为轴和轴,建立如图所示的 平面直角坐标系.是边上的一个动点(不与重合),过点的反比例函 数的图象与边交于点. (1) 求证:与的面积相等; (2) 记,求当为何值时,有最大值,最大值为多少? (3) 请探索:是否存在这样的点,使得将沿对折后,点恰好落 在上?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 【思路分析】本题看似几何问题,但是实际上AAOE和AFOB这 两个直角三角形的底边和高恰好就是E, F点的横坐标和纵坐标,而这 个乘积恰好就是反比例函数的系数Ko所以直接设点即可轻松证出结 果。第二问有些同学可能依然纠结这个^EOF的面积该怎么算,事实 上从第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个RT△面积都是异常 好求的。于是利用矩形面积减去三个小RT△面积即可,经过一系列 化简即可求得表达式,利用对称轴求出最大值。第三问的思路就是假 设这个点存在,看看能不能证明出来。因为是翻折问题,翻折之后大 量相等的角和边,所以自然去利用三角形相似去求解,于是变成一道 比较典型的几何题目,做垂线就0K. 【解析】 (1)证明:设,,与的面积分别为,, 由题意得,. ,・ ,即与的面积相等. (2)由题意知:两点坐标分别为,,(想不到这样设点也可以直 接用X去代入,麻烦一点而已) 当时,有最大值. (3)解:设存在这样的点,将沿对折后,点恰好落在边上的点, 过点作,垂足为. 由题意得:,,, 又, .(将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中) ,,解得. 存在符合条件的点,它的坐标为. 【例3】 如图,在直角梯形 ABCD 中,AD〃BC, ZC=90° , BC = 16, DC = 12, AD = 21o动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每秒2两个 单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单 位长的速度向点B运动,点P, Q分别从点D, C同时出发,当点Q运 动到点B时,点P随之停止运动。设运动的时间为t (秒)。 (1)设ABPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式; (2)当t为何值时,以B, P, Q三点为顶点的三角形是等腰三 角形? (3)是否存在时刻t,使得PQXBD?若存在,求出t的值;若 不存在,请说明理由。 【思路分析】本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几 综合题,大量时间都在计算上。第三讲的时候我们已经探讨过解决动 点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化,哪些量没有变 化。对于该题来说,当P,Q运动时,ABPQ的高的长度始终不变,即 为CD长,所以只需关注变化的底边BQ即可,于是列出函数式。第二 问则要分类讨论,牢牢把握住高不变这个条件,通过勾股定理建立方 程去求解。第三问很多同学画出图形以后就不知如何下手,此时不要 忘记这个题目中贯穿始终的不动量-高,过Q做出垂线以后就发现利 用角度互余关系就可以证明APEQ和ABCD是相似的,于是建立两个 直角三角形直角边的比例关系,而这之中只有PE是未知的,于是得 解。这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用,每 一小问都和它休戚相关,利用这个不变的高区建立函数,建立方程组 乃至比例关系才能拿到全分。 【解析】 解:(1)如图1,过点P作PMXBC,垂足为M,则四边形PDCM 为矩形。 .\PM=DC=12 VQB = 16-t, .・.S=X12X (16—t) =96—t (2) 由图可知:CM=PD = 2t, CQ = to热以B、P、Q三点 为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况。 ① 若 PQ=BQo 在 RtAPMQ 中,,由 PQ2=BQ2 得,解得t =; ② 若 BP=BQo 在 RtAPMB 中,。由 BP2=BQ2 得: 即。 由于△ = —704<0 .无解,APB^BQ. ③ 若 PB=PQo 由 PB2=PQ2,得 整理,得。解得(舍)(想想看为什么要舍?函数自变量的取值 范围是多少?) 综合上面的讨论可知:当七=秒时,以B、P、Q三点为顶点的三 角形是等腰三角形。 (3) 设存在时刻t,使得PQXBDo如图2,过点Q作QEXADS, 垂足为 Eo 由 RtABDC^RtAQPE, 得,即。解得t=9 所以,当t=9秒时,PQXBDo 【例4】 在 RtAABC 中,ZC=90° , AC = 3, AB = 5.点 P 从点 C 出发沿 CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后立刻以