2021高考数学(理)一轮复习优化讲解《等差数列及其前n项和》
第2讲 等差数列及其前〃项和 r最新考纲 考向预测、 1 .理解等差数列的概念. 2. 掌握等差数列的通项公式与前几项和公式. 3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系, 并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4. 了解等差数列与一次函数的关系. k 命题 趋势 本讲以考查等差数列的通项、前几项和及性质为主,等差数列的证 明也是考查的热点.本讲内容在高考中既可以以选择题、填空题的 形式进行考查,也可以以解答题的形式进行考杳.解答题往往与等 比数列、数列求和、不等式等问题综合考查. 核心 素养 数学运算 y ▲▲ 辱。知识,向会回Ji [页1 理教忖:夯实必备知说. [学生用书P97] 〔走进教材; 一、知识梳理 1. 等差数列的有关概念 (1) 定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列.符号表示为如一也=d(6*, d为常数). (2) 等差中项:数列a, A,人成等差数列的充要条件是丑三号,其中A叫做a,人的笠 差中项. 2. 等差数列的有关公式 (1) 通项公式:1)』. 、,八〜,n (〃一1)(。1+。〃) n (2) 刖〃项和公式:S〃=丝止2 任= 2, 3. 等差数列的性质 已知数列{。“}是等差数列,S“是其前〃项和. (1) 通项公式的推广:an=am+ (n~m)d(n,秫EN*). (2) 若化+/=初+〃(上,I, m, 〃EN*),则 您+印=。史+。叩 (3) 若的公差为d,贝!1{。2”}也是等差数列,公差为2d. (4) 若{/?〃}是等差数列,贝i[pan+qbn他是等差数列. (5) 数列Sm,S2m — Sm, S3m — S2m,…构成等差数列. 常用结论 1. 等差数列的函数性质 (1) 通项公式:当公差d尹。时,等差数列的通项公式an=a(n~ l)d= dn~\~ a[ — d是关 于〃的一次函数,且一次项系数为公差d.若公差“>0,则为递增数列,若公差d0f 所以|如 + |。2|1。151 = —(。1 +02+03+04)+(05+^6+ …+。15)=20+110= 130. 答案:130 》微(®考点,合值剖析 明考向•直击考例考遂. [学生用书P98] 考点El 等差数列基本量的计算(师生共研) 7S f@JUJ⑴(一题多解)已知等差数列皿}中, 。1+。4=甘,曲 +。6=&,则公差 d=() A-6B-12 r1nX C--6D-~12 (2) 记&为等差数列{a,J的前〃项和.若3&=,+$4,勾=2,则a5 = () A. -12B.-10 C.10D.12 (3) (2019-高考全国卷III)记S“为等差数歹!J{q〃}的前〃项和,若Qi尹0, %=3。1,则孕= 。1+。4=&,2。1 + 3日=&= 2平 【解析】(1)通解:由‘ 5得‘5解得‘ ]故选D. [。3+。6=§,[2。1 + 7』=&,—]2, 优解:由等差数列的性质知,。3 +。6 = (。1 + 2刈+ (。4 + 2勿=(。1+。4)+ 4日=¥,又。1 +。4 71 = ,所以d=—正.故选D. 3X2 (2)设等差数列亿〃}的公差为』,因为3S3=S2+