2021高考数学(理)一轮复习优化讲解《等差数列及其前n项和》

第2讲 等差数列及其前〃项和 r最新考纲 考向预测、 1 .理解等差数列的概念. 2. 掌握等差数列的通项公式与前几项和公式. 3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系， 并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4. 了解等差数列与一次函数的关系. k 命题 趋势 本讲以考查等差数列的通项、前几项和及性质为主，等差数列的证 明也是考查的热点.本讲内容在高考中既可以以选择题、填空题的 形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考杳.解答题往往与等 比数列、数列求和、不等式等问题综合考查. 核心 素养 数学运算 y ▲▲ 辱。知识，向会回Ji ［页1 理教忖夯实必备知说. [学生用书P97] 〔走进教材; 一、知识梳理 1. 等差数列的有关概念 1 定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列.符号表示为如一也d6*, d为常数. 2 等差中项数列a, A,人成等差数列的充要条件是丑三号，其中A叫做a,人的笠 差中项. 2. 等差数列的有关公式 1 通项公式1』. 、,八〜,n 〃一1。1。〃 n 2 刖〃项和公式S〃丝止2 任 2, 3. 等差数列的性质 已知数列｛。｝是等差数列，S“是其前〃项和. 1 通项公式的推广anam nmdn,秫EN*. 2 若化/初〃上，I, m, 〃EN*,则 您印。史。叩 3 若的公差为d,贝1｛。2”｝也是等差数列，公差为2d. 4 若｛/〃｝是等差数列，贝i[panqbn他是等差数列. 5 数列Sm，S2m Sm, S3m S2m，构成等差数列. 常用结论 1. 等差数列的函数性质 1 通项公式当公差d尹。时，等差数列的通项公式anan ld dn\ a[ d是关 于〃的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差0,则为递增数列，若公差d0,则为递 减数列. 2 前n项和当公差dNO时，S尸泌i 一“2 1H2Qi_g7是关于n的二次函数且常数项为0. （3）单调性当Q0时，数列｛a“｝为递增数列；当d0时，数列｛々｝为递减数列；当d 0时，数列修“｝为常数列. 2. 记住两个常用结论 （1）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ① 若项数为2〃,则SS nd,学地； S奇n ② 若项数为2〃一1,则S偶（〃一1）。〃，S奇w〃，S奇一S偶。〃，「. 3 偶 n 1 （2）两个等差数列｛an｝, ｛b“｝的前〃项和, 7；之间的关系为咨旦*. 1 n 二、习题改编 1. （必修5P38例1（1）改编）已知等差数列一8, -3, 2, 7,，则该数列的第100项为 解析依题意得，该数列的首项为一8,公差为5,所以oioo-899X5487. 答案487 2.（必修5P39练习T5改编）在等差数列｛“〃｝中，若o3o456o7450,则久 解析由等差数列的性质，得O3 4 5 6 7 55 450,所以“5 90,所以2 。82。5 180. 答案180 3. （必修5P46A组T5改编）已知等差数列5, 4y, 3，则前n项和. 5〃（ 〃 ］）1 解析由题知公差d“, 所以S,tna\26百（75〃一5/）. 答案土（75〃一5冶） 4. （必修5P46A M T2改编）设数列｛”“｝是等差数列，其前项和为S”若鸟2且S5 30,则 S8 解析 由已知可得， 。15』2, 5。1 10』30, C 26 ..8X7 解行4 所以，8 8。1 2d32. [d-3,一 答案32 一、思考辨析 判断正误正确的打“ ，错误的打“x” 1 数列｛“”｝为等差数列的充要条件是对任意N*,都有2anian-\an2. 2 等差数列｛㈤｝的单调性是由公差d决定的. 3 已知数列｛a“｝的通项公式是anpnq其中p, g为常数，则数列｛福一定是等差数 列. 4 等差数列的前〃项和公式是常数项为0的二次函数. 答案1。2 V 3V 4X 二、易错纠偏 常见误区|K1忽视等差数列中项为0的情况； 2 考虑不全而忽视相邻项的符号； 3 等差数列各项的符号判断不正确. 1. 已知等差数列｛,｝中，启| 09|,公差d0,则使数列｛山｝的前〃项和取最大值的 正整数n的值是. 解析由 |角1 1“9|，d0，得 “3 “9， r ,〜73 即 “3 09，所以 4 20. 所以 ”5。，“6 0,。70・ 所以当775或6时，S”取最大值. 答案5或6 2. 首项为30的等差数列｛a.｝,从第8项开始为负数，则公差d的取值范围是 解析由题意知勾30, ”8。，“7〉。. 30740, 3061N0, 解得一5Wd〈一〒 答案一5,一哥 3. 设数列｛。〃｝的通项公式为an2n 10nN,则如 |。2|1。151・ 解析由q2〃一 10N*知｛。〃｝是以一8为首项，2为公差的等差数列，又由an2n 10N0 得 nN5,所以 时，当 n5 时，an0f 所以|如 |。2|1。151 。1 020304056 。1520110 130. 答案130 微考点，合值剖析 明考向直击考例考遂. [学生用书P98] 考点El 等差数列基本量的计算师生共研 7S fJUJ⑴一题多解已知等差数列皿｝中， 。1。4甘，曲 。6，则公差 d A-6B-12 r1nX C--6D-12 2 记为等差数列｛a,J的前〃项和.若3，4,勾2,则a5 A. -12B.-10 C.10D.12 3 2019-高考全国卷III记S“为等差数歹J｛q〃｝的前〃项和，若Qi尹0, 3。1，则孕 。1。4，2。1 3日 2平 【解析】1通解由‘ 5得‘5解得‘ ]故选D. [。3。6，[2。1 7』,]2, 优解由等差数列的性质知，。3 。6 。1 2刈 。4 2勿。1。4 4日，又。1 。4 71 ,所以d正.故选D. 3X2 2设等差数列亿〃｝的公差为』，因为3S3S2