6对称矩阵的标准形
§6对称矩阵的标准形 一、实对称矩阵的一些性质 引理1设A是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数. 证:设扁是A的任意一个特征值,则有非零向量 满足 Ag = A)S. (一 \ X1 令E= ■?,其中“%的共轴复数, \Xn 7 又由A实对称,有司=人,4 = A, 不=众 点=打噩)=沁)=[如* =总后=(标) =房& 考察等式,扁泛=万。& 由于&是非零复向量,必有 g g = X1XX + X2X2 HF XnXn 丰 0 故 20 = 2o. /Iq e R. 引理2设A是实对称矩阵,在n维欧氏空间R“上定义一个线性变换 O■如下: cr(a) = Aa. 则对任意a,(3^Rn,有 (b(a),月) = (a,b(”)), 或 0(Aa) = a (A“). 证:取R〃的一组标准正交基, 则b在基8萨下的矩阵为A,即 (T(&],勺,■,,,&) = (*1,*2,■ • •,弓1) A P =炯+ y2£2 +…+片&=(与,勺,・. .,&)匕 于是 b(a) = cr(g|,&2,,“,&)X =(£l,£2,---,£n)AX, CT(j3)= (T(£l,S2,---,Sn)Y =(£l,£2,---,£n)AY, 又£^£2,■■■,£„是标准正父基, (cy(a),^^(AX) Y = (X A )Y = X AY = X,(AK)=(“(”)) 又注意到在夫“中a = X,/3 = Y, 即有成血)=(尸,b(a)) = (b(a),/7) = (a,o■(月)) = a,(A 月). 二、对称变换 1. 定义 设b为欧氏空间V中的线性变换,如果满足 (cr(a),“) = (a,cr(“)),\/a,/3&V, 则称b为对称变换. 2. 基本性质 1) n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是 相互确定的: ① 实对称矩阵可确定一个对称变换. 事实上,设AeR^,A = A,卒2,•••,§为V的一组标准正交基.定 义V的线性变换b: b(% %,•••,§) =修 q,•••,§)△ 则b即为V的对称变换. ② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵. 事实上,设o■为n维欧氏空间V上的对称变换,上,%…归为V的一 组标准正交基,A = (ay)聂”伞为b在这组基下的矩阵,即 CT(⑶,勺,…,§)=修,勺,•••,§)△ 或 b (与)=a\i£\ + a萨2 + 卜 ani£n =£ akisk ,,= 1,2, . . k=l (_ 〃、 _ n 于是s(w,勺)=»档,与与) k k=l) k=l (8“b(8;))= £ ■, ^2 aki£k =z% (与点) k=l =aij (£i^£i) = aij 由(T是对称变换,有((7(与),勺)=(勺,0■(与)) 即 atj =ajt,i,j = 1,2,…,r 所以A为对称矩阵. 2)(引理3)对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间. 证明:设b是对称变换,W为b的不变子空间. 对 \/a ,要证cr(«) e ,即证cr(«) e W . 任取由W是b子空间,有b(仞eW. 因此(cr(a),月) = (/7,cr(a)) = 0 即 o-(«)±W,o-(«)±Wx. 故也为◎的不变子空间. 三、实对称矩阵的正交相似对角化 1. (引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的. 证:设实对称矩阵A为R“上对称变换b的在标准正交基下的矩阵, 久〃是A的两个不同特征值,四”分别是属于冗〃的特征向量. 贝 U cr(«) = Aa = Aa,。邸)=邱=邮, 由(b(a)急)=(必,b(月)) 三、实对称矩阵的正交相似对角化 1. (引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的. 证:设实对称矩阵A为R“上对称变换b的在标准正交基下的矩阵, 久〃是A的两个不同特征值,四”分别是属于冗〃的特征向量. 贝Ucr(«) = = Aa,cr(^) = Z(3a = A(3 , 由(b(a)急) = (a,b(”)) 有(2a,#) = (a/0) 即 2(a,0) = 又 Xi —,(a, ”) = 0 即a,”正交. 2. (定理7)对AeRnxn,A = A,总有正交矩阵T,使 T AT = T- AT = diag (2],22,---2h). 证:设A为R“上对称变换b在标准正交基下的矩阵.由实对称矩阵 和对称变换互相确定的关系,只需证b有n个特征向量作成的标准正 交基即可. 对R“的维数n用归纳法. n=l时,结论是显然的. 假设n—1时结论成立,对设其上的对称变换b有一单位特征向 量%,其相应的特征值为九,即 |a,| = 1 设子空间L(%) = W,显然W是b子空间,则时也是b子空间,且 WeW1 =Rn,dimW、〃 —1 又对 Va/K,有 侦> (。),”) = (b(a),”) = (a,b(”))S,crlwi (”)) 所以“是上的对称变换• 由归纳假设知有n—1个特征向量«2,«3,•••,«„构成时的一组标准 正交基. 从而«!,«2,«3,•••,«„就是/的一组标准正交基,又都是/的特征向 量.即结论成立. 3. 实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤 设 A&R ,X\ A = A (i) 求出A的所有不同的特征值:知%,-,“R, 其重数n1,n2,---,nr必满足£% =〃; 1=1 (ii) 对每个解齐次线性方程组 (2iE-A)X =0 求出它的一个基础解系:•••,«;„ 它是A的属于特征值4的特征子空间V/,的一组基.把它们按schmidt 正交化过程化成的一组标准正交基7,1以2,…,. iii)因为九,々,•••,々互不相同,所以匕【七(3力 r 且 EdimW/,=〃, i=l •,-〃11,〃12,,“,代,,〃/1,佑2,…,〃“,就是V的一组标准正交基. 将…,气,…,〃如的分量依次作矩阵T的第1, 2,…, n歹0,则T是正交矩阵,且使T AT = T-iAT为对角形. 例1.设 0 1 1 -1、 1 0 -1 1 1 -1 0 1 -1 1 1 A = 求一正交矩阵T使丁么丁成对角形. 解:先求A的特征值. \AE-A\ = 2 -1 -1 1 0 2-1 2-1 1-22 -1 1 -1 0 2-1 0 2-1 -1 1 -1 0 0 2-1 2-1 1 -1 -1 2 1 -1 -1 2 2-1 2-1 1-22 1 1 -2-1 2-1 0 2-1 = “1)3 1 0 1 0 2-1 2-1 0 1 1 =(九一1