6对称矩阵的标准形

6对称矩阵的标准形 一、实对称矩阵的一些性质 引理1设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数. 证设扁是A的任意一个特征值，则有非零向量 满足 Ag A）S. （一 \ X1 令E ■,其中的共轴复数， \Xn 7 又由A实对称，有司人，4 A, 不众 点打噩）沁）［如* 总后（标）房 考察等式，扁泛万。 由于是非零复向量，必有 g g X1XX X2X2 HF XnXn 丰 0 故 20 2o. /Iq e R. 引理2设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间R上定义一个线性变换 O■如下 cra Aa. 则对任意a,3Rn,有 ba,月 a,b”, 或 0Aa aA. 证取R〃的一组标准正交基, 则b在基8萨下的矩阵为A,即 T],勺，■,,， *1，*2，■ ，弓1 A P 炯 y22 片与，勺，・. .，匕 于是 ba crg|,2，,,X l,2,---,nAX, CTj3 Tl,S2,---,SnY l,2,---,nAY, 又2,■■■,„是标准正父基, cya,AXY XAY XAY X，AK” 又注意到在夫中a X,/3 Y, 即有成血尸,ba ba,/7 （a,o■（月）） a，（A 月）. 二、对称变换 1. 定义 设b为欧氏空间V中的线性变换，如果满足 cra, a,cr,\/a,/3V, 则称b为对称变换. 2. 基本性质 1 n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在标准正交基下是 相互确定的 ① 实对称矩阵可确定一个对称变换. 事实上，设AeR,A A,卒2,,为V的一组标准正交基.定 义V的线性变换b b ,, 修 q,,△ 则b即为V的对称变换. ② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵. 事实上，设o■为n维欧氏空间V上的对称变换，上,％归为V的一 组标准正交基，A ay聂”伞为b在这组基下的矩阵，即 CT⑶，勺,,修,勺,，△ 或 b 与a\i\ a萨2 卜 anin akisk ,， 1,2, . . kl _ 〃、 _ n 于是sw，勺档,与与 k kl kl 8b8； ■, 2 akik z （与点） kl aij （ii） aij 由（T是对称变换,有（（7（与）,勺）（勺,0■（与）） 即 atj ajt,i,j 1,2，,r 所以A为对称矩阵. 2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是它的不变子空间. 证明设b是对称变换，W为b的不变子空间. 对 \/a ,要证cr（） e ,即证cr（） e W . 任取由W是b子空间，有b（仞eW. 因此（cr（a）,月） （/7,cr（a）） 0 即 o-（）W,o-（）Wx. 故也为◎的不变子空间. 三、实对称矩阵的正交相似对角化 1. （引理4）实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的. 证设实对称矩阵A为R上对称变换b的在标准正交基下的矩阵, 久〃是A的两个不同特征值，四”分别是属于冗〃的特征向量. 贝 U cr（） Aa Aa,。邸）邱邮, 由（b（a）急）（必,b（月）） 三、实对称矩阵的正交相似对角化 1. 引理4实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的. 证设实对称矩阵A为R上对称变换b的在标准正交基下的矩阵, 久〃是A的两个不同特征值，四”分别是属于冗〃的特征向量. 贝Ucr Aa,cr Z3a A3 , 由ba急 a,b” 有2a, a/0 即 2a,0 又 Xi ,a, ” 0 即a,”正交. 2. 定理7对AeRnxn,A A,总有正交矩阵T,使 TAT T-AT diag 2],22,---2h. 证设A为R上对称变换b在标准正交基下的矩阵.由实对称矩阵 和对称变换互相确定的关系，只需证b有n个特征向量作成的标准正 交基即可. 对R的维数n用归纳法. nl时，结论是显然的. 假设n1时结论成立，对设其上的对称变换b有一单位特征向 量％,其相应的特征值为九，即 |a,| 1 设子空间L W,显然W是b子空间，则时也是b子空间，且 WeW1 Rn,dimW、〃 1 又对 Va/K,有 侦＞ 。，” ba,” a,b”S，crlwi ” 所以是上的对称变换 由归纳假设知有n1个特征向量2,3,,„构成时的一组标准 正交基. 从而，2,3,,„就是/的一组标准正交基，又都是/的特征向 量.即结论成立. 3. 实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤 设 AR,X\ A A i 求出A的所有不同的特征值知％，-，R， 其重数n1,n2,---,nr必满足 〃； 11 ii 对每个解齐次线性方程组 2iE-AX 0 求出它的一个基础解系,；„ 它是A的属于特征值4的特征子空间V/,的一组基.把它们按schmidt 正交化过程化成的一组标准正交基7,1以2,,. iii因为九,々，，々互不相同，所以匕【七3力 r 且 EdimW/,〃， il ,-〃11，〃12，，“，代，，〃/1，佑2,，〃“，就是V的一组标准正交基. 将，气,，〃如的分量依次作矩阵T的第1, 2,， n歹0,则T是正交矩阵，且使TAT T-iAT为对角形. 例1.设 0 1 1 -1、 1 0 -1 1 1 -1 0 1 -1 1 1 A 求一正交矩阵T使丁么丁成对角形. 解先求A的特征值. \AE-A\ 2 -1 -1 1 0 2-1 2-1 1-22 -1 1 -1 0 2-1 0 2-1 -1 1 -1 0 0 2-1 2-1 1 -1 -1 2 1 -1 -1 2 2-1 2-1 1-22 1 1 -2-1 2-1 0 2-1 13 1 0 1 0 2-1 2-1 0 1 1 （九一1