2021第7章第2节空间点直线平面之间的位置关系2
第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 [考点要求]1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定 理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 夯实基础知识 课前自主回顾 一粗除竺基直点一一一 I:必备知识填充] 1. 四个公理 (1) 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. (2) 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 拓展:公理2的三个推论 推论1:经过一条直线和这条真线选二点有且只有一个平面. 推论2:经过两条担交直线有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行真线有且只有一个平面. (3) 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (4) 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相垩行. 2. 直线与直线的位置关系 (1) 位置关系的分类 共面直线 相交直线 平行直线 〔异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点 (2) 异面直线所成的角 ① 定义:设s力是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a //a, b //b,把“与日所成的锐角(或直角)叫 做异面直线a与b所成的角(或夹角). ② 范围:(0° , 90° 1. 拓展:异面直线判定的一个定理y 过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线,如图所示.砂 3. 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 (1) 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线 不在 平面 直线在平面内 / ° / 无数个 直线与平面平行 a Z / a// a 个 内 直线与平 面相交 直线与平面斜 交 a^\a=A L个 直线与平面垂 直 L个 (2)空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 4_/ %/ a// P 个 两平面相交 aC\/3=l 无数个 4. 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. [常用结论] 唯一性定理 ⑴过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. (2) 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. (3) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4) 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. [学情自测验收] 一、思考辨析(正确的打“广’,错误的打“ X”) (1) 两个平面a,“有一个公共点A,就说a,“相交于过A点的任意一条直线.() (2) 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.() (3) 如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.() (4) 若直线a不平行于平面a,且出a,则a内的所有直线与a异面.() 二、教材改编 1. 已知a, b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与3() A. 一定是异面直线 C.不可能是平行直线 B. 一定是相交直线 D.不可能是相交直线 2.如图所示,在正方体ABCD-AiBiCiDi中, 与EF所成角的大小为() A. 30° B. C. 60° D. E, F分别是AB, AQ的中点, 45° 90° 3. 下列命题正确的是() A. 两个平面如果有公共点,那么一定相交 B. 两个平面的公共点一定共线 C. 两个平面有3个公共点一定重合 D. 过空间任意三点,一定有一个平面 4. 如图,在三棱锥A-BCD中,E, F, G, H分别是棱AB, BC, CD, D4的中点,则 (1)当AC, BZ)满足条件 时,四边形EFGH为菱形; ⑵当AC, BQ满足条件 时,四边形EFGH为正方形. …一冀毡费登考点一 课堂考点探究 破解高考疑难 考点1平面的基本性质及应用 ■通法共面、共线、共点问题的证明 (1) 证明共面的方法:①先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②证两平面重合. (2) 证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条 特定直线上. (3) 证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点. 啪典例 如图所示,正方体ABCD-A\B\C\D\中,E, F分别是AB和曲i的中点.求证: (1) E, C, Di,F四点共面; 曜典题1.(2019-衡水中学模拟)有下列四个命题: ① 空间四点共面,则其中必有三点共线; ② 空间四点不共面,则其中任意三点不共线; ③ 空间四点中有三点共线,则此四点共面; ④ 空间四点中任意三点不共线,则此四点不共面. 其中真命题的所有序号有. 2. 如图所示,空间四边形ABCQ中,E, F分别是AB, AQ的中点,G, H分别在BC, CQ上, 且 BG : GC=DH : HC=1 : 2. (1) 求证:E, F, G, H四点共面; (2) 设EG与FH交于点F,求证:P, A, C三点共线. (2) CE, DiF,诳三线共点. 考点2判断空间两直线的位置关系 保通法 空间中两直线位置关系的判定方法 U异面直线:直接法或反证法 [理4、线面、面面平行的性质定理; 可构造 兀何模 型(长 方体或 正方体) 曜典题1.若直线/1和电是异面直线,在平面a内,/2在平面”内,/是平面a与平面K的交线,则下列命题 正确的是() A. I与li,Z2都不相交 B. /与“,为都相交 C. 1至多与A,上中的一条相交 D. /至少与/1,么中的一条相交 2. (2019-全国卷III)如图,点N为正方形ABCD的中心,△£[£>为正三角形,平面 兼 ECDl^ABCD, M是线段ED的中点,贝U()/ V\ A. BM=EN,且直线BM、EN是相交直线 B. BMNEN,且直线BM, EN是相交直线/ 一\y C. BM=EN,且直线BM、EN是异面直线DA D. BM圭EN,且直线BM, EN是异面直线 3. 在下列四个图中,G, N, M, H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH, 是异面直线 的图形有.(填序号) 考点3异面直线所成的角 ■通法1.平移法求异面直线所成角的一般步骤 (1)作角用平移法找(或作)出符合题意的角. (2)求角——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出角的大小. TT 提醒:异面直线所成的角96(0,方]. 2.坐标法求异面直线所成的角:当题设中含有两两垂直的三边关系时,常采用坐标法. 提醒:如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. 嬲典例(1)[—题多解](2018-全国卷II)在长方体 ABCD-AiBiCiDi 中,AB=BC=1, &4i=“,4 则异面直线A玖与Q31所成角的余弦值为()/ X A- 5