2021第7章第2节空间点直线平面之间的位置关系2

第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 ［考点要求］1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定 理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 夯实基础知识 课前自主回顾 一粗除竺基直点一一一 I必备知识填充］ 1. 四个公理 1 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 2 公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 拓展公理2的三个推论 推论1经过一条直线和这条真线选二点有且只有一个平面. 推论2经过两条担交直线有且只有一个平面. 推论3经过两条平行真线有且只有一个平面. 3 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 4 公理4平行于同一条直线的两条直线互相垩行. 2. 直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类 共面直线 相交直线 平行直线 〔异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点 2 异面直线所成的角 ① 定义设s力是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a//a, b //b,把与日所成的锐角或直角叫 做异面直线a与b所成的角或夹角. ② 范围0 , 90 1. 拓展异面直线判定的一个定理y 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示.砂 3. 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1 空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线 不在 平面 直线在平面内 / / 无数个 直线与平面平行 a Z / a// a 个 内 直线与平 面相交 直线与平面斜 交 a\aA L个 直线与平面垂 直 L个 2空间中平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 两平面平行 4_/ / a// P 个 两平面相交 aC\/3l 无数个 4. 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. ［常用结论］ 唯一性定理 ⑴过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 2 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 3 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 4 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. ［学情自测验收］ 一、思考辨析正确的打“广’，错误的打“ X” 1 两个平面a,有一个公共点A,就说a,相交于过A点的任意一条直线. 2 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. 3 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. 4 若直线a不平行于平面a,且出a,则a内的所有直线与a异面. 二、教材改编 1. 已知a, b是异面直线，直线c平行于直线a,那么c与3 A. 一定是异面直线 C.不可能是平行直线 B. 一定是相交直线 D.不可能是相交直线 2.如图所示，在正方体ABCD-AiBiCiDi中, 与EF所成角的大小为 A. 30 B. C. 60 D. E, F分别是AB, AQ的中点, 45 90 3. 下列命题正确的是 A. 两个平面如果有公共点，那么一定相交 B. 两个平面的公共点一定共线 C. 两个平面有3个公共点一定重合 D. 过空间任意三点，一定有一个平面 4. 如图，在三棱锥A-BCD中，E, F, G, H分别是棱AB, BC, CD, D4的中点，则 1当AC, BZ满足条件 时，四边形EFGH为菱形； ⑵当AC, BQ满足条件 时，四边形EFGH为正方形. 一冀毡费登考点一 课堂考点探究 破解高考疑难 考点1平面的基本性质及应用 ■通法共面、共线、共点问题的证明 1 证明共面的方法①先确定一个平面，然后再证其余的线或点在这个平面内；②证两平面重合. 2 证明共线的方法①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条 特定直线上. 3 证明线共点问题的常用方法是先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 啪典例 如图所示，正方体ABCD-A\B\C\D\中，E, F分别是AB和曲i的中点.求证 1 E, C, Di，F四点共面； 曜典题1.2019-衡水中学模拟有下列四个命题 ① 空间四点共面，则其中必有三点共线； ② 空间四点不共面，则其中任意三点不共线； ③ 空间四点中有三点共线，则此四点共面； ④ 空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面. 其中真命题的所有序号有. 2. 如图所示，空间四边形ABCQ中，E, F分别是AB, AQ的中点，G, H分别在BC, CQ上, 且 BG GCDH HC1 2. 1 求证E, F, G, H四点共面； 2 设EG与FH交于点F,求证P, A, C三点共线. 2 CE, DiF,诳三线共点. 考点2判断空间两直线的位置关系 保通法 空间中两直线位置关系的判定方法 U异面直线直接法或反证法 ［理4、线面、面面平行的性质定理; 可构造 兀何模 型（长 方体或 正方体） 曜典题1.若直线/1和电是异面直线，在平面a内，/2在平面”内，/是平面a与平面K的交线，则下列命题 正确的是（） A. I与li，Z2都不相交 B. /与，为都相交 C. 1至多与A，上中的一条相交 D. /至少与/1，么中的一条相交 2. （2019-全国卷III）如图，点N为正方形ABCD的中心，△［＞为正三角形，平面 兼 ECDlABCD, M是线段ED的中点，贝U（）/ V\ A. BMEN,且直线BM、EN是相交直线 B. BMNEN,且直线BM, EN是相交直线/ 一\y C. BMEN,且直线BM、EN是异面直线DA D. BM圭EN,且直线BM, EN是异面直线 3. 在下列四个图中，G, N, M, H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH, 是异面直线 的图形有.（填序号） 考点3异面直线所成的角 ■通法1.平移法求异面直线所成角的一般步骤 （1）作角用平移法找（或作）出符合题意的角. （2）求角转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小. TT 提醒异面直线所成的角96（0,方］. 2.坐标法求异面直线所成的角当题设中含有两两垂直的三边关系时，常采用坐标法. 提醒如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 嬲典例（1）［题多解］（2018-全国卷II）在长方体 ABCD-AiBiCiDi 中，ABBC1, 4i,4 则异面直线A玖与Q31所成角的余弦值为（）/ X A- 5