2021第7章第5节空间向量的运算及应用2
第五节空间向量的运算及应用 [考点要求]1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标 表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向 量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6. 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 课前自主回顾 (对应学生用书第130页) [必备知识填充] 1. 空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中,具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2. 空间向量的有关定理 (1) 共线向量定理:对空间任意两个向量a, bgO), a//b的充要条件是存在实数人,使得 (2) 共面向量定理:如果两个向量a,万不共线,那么向量p与向量a,力共面的充要条件是存在唯二的有序实数 对3,j),使 p=xa+yb. (3) 空间向量基本定理:如果三个向量a,方,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x, y, z},使 得p=xa+yb+zc,其中,{a, b, c}叫做空间的一个基底. 3. 两个向量的数量积 (1) 非零向量a,方的数量积a-6=|a||fe|cos 〈a, b). (2) 空间向量数量积的运算律: ① 结合律:(扁)0=/(a,); ② 交换律:ab=ba; ③ 分配律:a (b-\-c)=a b-\~a c. 4. 空间向量的坐标表示及其应用 设 a=(ai,。2,。3),b=(bi, > bi). 向量表示 坐标表示 数量积 ab Q也1 ++。3必 共线 0=义方0NO, A ER) Q], “2 =义人2, 。3=人力3 垂直 0,=0(。夭0,力夭0) @也 +。2 (2) 求证:BQ〃平面EFGH. (2)三点共线通常转化为向量共线,四点共面通常转化为向量共面,线面平行可转化为向量共线、共面来证明. 曜典题1.已知a=(A+l, 0, 2), b = (6, 2〃一1, 2』),若a//b,则人与冲的值可以是() A. 2, ;B. § C. -3, 2D. 2, 2 2.已知 0=(2, -1, 3), b=(—l, 4, -2), c=(7, 5, Q,若 s b, c 三向量共面,则实数4 等于. 考点3空间向量数量积的应用 保通法(1)利用数量积解决问题的两条途径:一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标 运算. (2)空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题. ① 0乂0,万乂0, a±b^a-b=0. ② 同 、 a・b ©cos {a, b)=匚而 啪典例 如图所示,四棱柱ABCD-A\B\C\D\中,底面为平行四边形,以顶点A为端点 的三条棱长都为1,且两两夹角为60。. (1)求AG的长; (2)求证: