2021第7章第5节空间向量的运算及应用2

第五节空间向量的运算及应用 ［考点要求］1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标 表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向 量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6. 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 课前自主回顾 对应学生用书第130页 ［必备知识填充］ 1. 空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量或平行向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2. 空间向量的有关定理 1 共线向量定理对空间任意两个向量a, bgO, a//b的充要条件是存在实数人，使得 2 共面向量定理如果两个向量a,万不共线，那么向量p与向量a,力共面的充要条件是存在唯二的有序实数 对3，j,使 pxayb. 3 空间向量基本定理如果三个向量a,方，c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组｛x, y, z｝,使 得pxaybzc,其中，｛a, b, c｝叫做空间的一个基底. 3. 两个向量的数量积 1 非零向量a,方的数量积a-6|a||fe|cos 〈a, b. 2 空间向量数量积的运算律 ① 结合律扁0/a，； ② 交换律abba； ③ 分配律a b-\-ca b-\a c. 4. 空间向量的坐标表示及其应用 设 aai,。2,。3，bbi, bi. 向量表示 坐标表示 数量积 ab Q也1 。3必 共线 0义方0NO, A ER Q］, 2 义人2， 。3人力3 垂直 0，0。夭0,力夭0 也 。22 。3也0 模 || 寸。房。3 夹角 〈a, b〉奸0,奸0 ,、。1-1-22 』33 寸尿活活 yjbblbl 5.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线/1，/2的方向向量分别为〃1，〃2 h//h n\ // 〃2〃1义〃2 Zife n i _L 〃2台〃1 . 〃20 直线1的方向向量为n,平面a的法向量为m l//a 〃_L 冰 l-La n// mnXm 平面a,月的法向量分别为〃，m a// P n// mnXm a_L n_Lmnm0 [常用结论] 1. 对空间任一点0,若OPxOAyOBxy 1,贝]P, A, B三点共线. 2. 对空间任一点 0,若OPxOA yOBzOCxyz 1,则 F, A, B,。四点共面. [n-aG, 3. 平面的法向量的确定设是平面a内两不共线向量，为平面a的法向量，则求法向量的方程组为＜ [n-bO. I学情自测验收] 一、思考辨析正确的打“，错误的打“ X” 1 空间中任意两非零向量a,方共面. 2 若 A, B, C, Q 是空间任意四点，则WABBCCDDA0. 3 设｛a, b, c｝是空间的一个基底，则a, b, c中至多有一个零向量. 4 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同. 二、教材改编 1. 设“2, 2, t, r6, 4, 4分别是平面a, 的法向量.若仁_1_人贝。7 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.在平行六面体ABCD-AiBiQDi中, M为A 与BiDi的交点.若ADb, c，则下列向量中与相等的向量是 B. abc A4i D. 3.已知 Al, 0, 0, 30, 1, 0, C0, 0, 1,则下列向量是平面ABC法向量的是 A. -1, 1, 1 B. 1，-I- 1 C料，-平，书 4. 已知 02, 3, 1,万一4, 2,尤，且 a_Lb,则|力| 卷箜2考点课堂考点探究 一鲍寅考一欢 考点1空间向量的线性运算 ■通法用基向量表示指定向量的方法 1 结合已知向量和所求向量观察图形. 2 将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. 3 利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来. 曜典题1.如图所示，已知空间四边形OABC,其对角线为。B, AC, M, N分别为OA, BC的 B 中点，点 G 在线段 上，且MG2GN, OGxOAyOBzOC,贝。xyz 2. 如图所示，在平行六面体ABCD-A}B\C\D{中，设AA\a, ABb, ADc, M, 分别是AAi，BC, 的中点, 试用a, b, c表25以下各向量 1AP； 2N； 3MPNCi. 考点2共线共面向量定理的应用 ■通法证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点P, A, B共线 空间四点M, P, A, B共面 PAJB且同过点P ►► MPxMAyMB 对空间任一点。，OPOAtAB 对空间任一点。，OPOMxMAyMB 对空间任一点。，OPxOAlxOB 对空间任一点。，OPxOMyOA {\ -X- yOB 啪典例如图，已知E, F, G, H分别为空间四边形ABC。的边AB, BC, CD, QA的中点. 1 求证E, F, G, H四点共面; 2 求证BQ〃平面EFGH. 2三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明. 曜典题1.已知aAl, 0, 2, b 6, 2〃一1, 2』，若a//b,则人与冲的值可以是 A. 2, ；B. C. -3, 2D. 2, 2 2.已知 02, -1, 3, bl, 4, -2, c7, 5, Q,若 s b, c 三向量共面，则实数4 等于. 考点3空间向量数量积的应用 保通法1利用数量积解决问题的两条途径一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标 运算. 2空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题. ① 0乂0,万乂0, aba-b0. ② 同 、 a・b cos {a, b匚而 啪典例 如图所示，四棱柱ABCD-A\B\C\D\中，底面为平行四边形，以顶点A为端点 的三条棱长都为1,且两两夹角为60。. 1求AG的长； 2求证