94椭圆标准方程及几何性质
9.4椭圆标准方程及几何性质 •训练指要 熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质;会用待定系数法求椭圆方程. •专题训练 一、选择题 0.6,长、短轴之和为36,则椭圆方程 1. 椭圆中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,离心率为 为: X5. (2002年全国高考题)椭圆5/+幻;=5的一个焦点是(0, 2),那么妇. 三、解答题 6. 椭圆二+ 土=1以>。0),以0,0)、卸(0,小),水@0),尸为椭圆的右焦点,若直线ABLB a- b~ F,求椭圆的离心率. 7. 在面积为1的中,tan旋上,tan哗-2,建立适当的坐标系,求以从少为焦点且过点夕 的椭圆方程. F 100 64 =1 B. x2 64 100 =1 x2 F 100 £ 64 1_tx x2 =1或一 64 +汶=1 D. %2 lo 8 22 二域J 810 A. C. =1 2. 若方程r+w=2,表不焦点在尹轴上的椭圆,那么实数人的取值范围是: A. (0, +8)B. (0, 2) C. (1, +8)D. (0, 1) 3. 已知圆.v2+y = 4,又, 0),夕为圆上任一点,则四的中垂线与 游之交点物轨迹为 (。为原点): C.椭圆D.双曲线 A.直线B,圆 二、填空题 4. 设椭圆土 +二=1的两个焦点为汽、JI (x—c)代入椭圆方程,得 5/—8c^+2c2=0.求得|用|二c, Fi到用的距离为沿等“C, .♦. S®pq =^\PQ\-d = 20心 n尸=25. 22 .椭圆方程为—+^ = 1. 50 25 9. 依题意,直线AB的斜率必存在. 设直线AB的方程为v = kx + l (设SO),则直线BC的方程为y = _Lx + i. k 2-7 2k 设出>1,为),C(x2,y2),将y = kx + l代入三■ +矿=1,得:刈= . a1 + a k 同理:改=¥^. k +a 山 AB |=| BC | ,得 k(cr +k-) = \ + crk- . B|J (Z: - 1)[A 2 -(«2 - 1)A +1] = 0 . (i) 当1〈“〈心时,方程①有且仅有一解,此时满足要求的三角形有且仅有一个; (ii) 当af 时,方程①有且仅有两解,此时满足要求的三角形有且仅有两个; (iii) 当“〉心时,方程①有且仅有二解,此时满足要求的二角形有且仅有二个. 2 10. (1)设M (m,0)为椭圆:+y2=i的左特征点.椭圆的左焦点为: F(-2,0),可设直线 AB 的方程为 x = 0,-2(阵 0).代入%■+ y2 = 1 得(◎- 2)2+5r =5, 4ki 即(尸+5)y2-40,-l = O.(3分)设出%5),3任涡),则, 1 +〉 2=7^「,〉 『2=-7^「 K,十DK,十D 被工轴平分kAM =0(4分)即一-—+ ——— = 0y} (x2 - m) + y2 - m) = 0 xx-m x2-m 即乂(饥 - 2) + y2(ky1-2)-(yl + y2)m = 0:. 2ky{y2 - (乂 + y2)(m + 2) = 0. 1AhSS 于是2k • (— -2—)--2—(m + 2) = 0 k。0.1 + 2(m + 2) = 0,即mM(--,0)(7分) A+5A+522 ⑵对于椭圆—+ y2 =l,a == l,c = 2. /. 52 c 于是猜想:椭圆4+4=i的“左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点.(io分) a b 证明:设椭圆的左准线/与x轴相交于M点,过4,8分别作/的垂线,垂足为C,D. 据椭圆第二定义:=匡,即明,于是丝1 =四£1即1^ =四1 | AC I \BD\ \BF\ \BD\\BF\ \ DM \ \BD\ \DM\ \CM \ \ DM \ :.ZAMC = ZBMD n ZAMF = ZBMF :.为匕4翊的平分线.故M为椭圆的”左特征点”.(14分)