94椭圆标准方程及几何性质

9.4椭圆标准方程及几何性质 训练指要 熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质；会用待定系数法求椭圆方程. 专题训练 一、选择题 0.6,长、短轴之和为36,则椭圆方程 1. 椭圆中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率为 为 X5. 2002年全国高考题椭圆5/幻;5的一个焦点是0, 2,那么妇. 三、解答题 6. 椭圆二 土1以＞。0,以0,0、卸0,小，水0,尸为椭圆的右焦点，若直线ABLB a- b F,求椭圆的离心率. 7. 在面积为1的中，tan旋上，tan哗-2,建立适当的坐标系，求以从少为焦点且过点夕 的椭圆方程. F 100 64 1 B. x2 64 100 1 x2 F 100 64 1_tx x2 1或一 64 汶1 D. 2 lo 8 22 二域J 810 A. C. 1 2. 若方程rw2,表不焦点在尹轴上的椭圆，那么实数人的取值范围是 A. 0, 8B. 0, 2 C. 1, 8D. 0, 1 3. 已知圆.v2y 4,又, 0,夕为圆上任一点，则四的中垂线与 游之交点物轨迹为 。为原点 C.椭圆D.双曲线 A.直线B,圆 二、填空题 4. 设椭圆土 二1的两个焦点为汽、尸为椭圆上一点，且PFP,贝IJ | | PE | - | PF, | 45 20 8. 如图，从椭圆二 土 la力0上一点力向N轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点 / b2 且它的长轴端点A及短轴的端点B的连线AB// OM. 1 求椭圆的离心率e； 2 设0是椭圆上任意一点，是右焦点，求/F、QR的取值范围； ⑶设0是椭圆上一点，当德上曲时,延长猝与椭圆交于另一点R若逐PQ的面积为20a/3 , 求此时椭圆的方程. 9. 以椭圆4 y2 11的短轴的端点B0,l为直角顶点作椭圆的内接等腰直角二角形ABC , a2 问这样的三角形能作几个 10. 过椭圆4 4 10的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB,若点M在］- a2 b2 轴上，且使得MF AAMB的一条内角平分线,则称点M为该椭圆的“左特征点”. 2 ⑴求椭圆y2 1的“左特征点” M的坐标； 5 22 ⑵试根据⑴中的结论猜测椭圆二写1「0的“左特征点” M是一个怎样的点并证明你 a2 b2 的结论. 9.4椭圆标准方程及几何性质 参考答案 专题训练 一、选择题 1.C 2. D 3. C 二、填空题 4 2 \/5 提示I1 P”21 2a 65 | PFi |2|PF2 |2 2c2 100 以阴|・哗|40, |用| 一 |欣12100 2X4020. | \PFA-\PF2\ |2山. 5. 1 三、解答题 底 V5-1 6. 2 7.以刎所在直线为N轴, 线段刎的中垂线为P轴建立坐标系，可得椭圆方程为 A2 2 y 1 X H I. 153 8.⑴必2 [0,-] 22 22 ⑶ 50 25 提示⑴..昭J_x轴, b x『-c,代入椭圆方程求得 所 , a 1 211 21 ・ koM ,kAB , *.* OM// AB, n b c , 从而劳. acaaca2 ⑵设 | QFi | zi, | QF21 22, ZRQFw 0,则 _n登二2a, I A|2c. 由余弦定理，得cos 9二尸一琴牝,]，22 2”2 4凌/ _]N22 7T 当且仅当时，上式取等号.「.OWcos寸W1, 0 e [0,]. 2 22I 3 椭圆方程可化为 1,又 PQ.LAB, .\kpo 2. 2c ckAB b 6 / PQ;JI xc代入椭圆方程，得 5/8c2c20.求得|用|二c, Fi到用的距离为沿等C, .♦. Spq \PQ\-d 20心 n尸25. 22 ...椭圆方程为 1. 50 25 9. 依题意，直线AB的斜率必存在. 设直线AB的方程为v kx l 设SO,则直线BC的方程为y _Lx i. k 2-7 2k 设出＞1，为，Cx2,y2，将y kx l代入三■ 矿1,得刈 . a1 a k 同理改. k a 山 AB || BC | ,得 kcr k- \ crk- . B|J Z - 1[A2 -2 - 1A1] 0 . i 当1〈〈心时，方程①有且仅有一解，此时满足要求的三角形有且仅有一个; ii 当af 时，方程①有且仅有两解，此时满足要求的三角形有且仅有两个； iii 当〉心时，方程①有且仅有二解，此时满足要求的二角形有且仅有二个. 2 10. 1设M m,0为椭圆y2i的左特征点...椭圆的左焦点为 F-2,0,可设直线 AB 的方程为 x 0，-2阵 0.代入■ y2 1 得◎- 225r 5, 4ki 即尸5y2-40，-l O.3分设出％5,3任涡，则,1 〉27「，〉『2-7「 K,十DK,十D 被工轴平分kAM 04分即一- 0..y} x2 - m y2 - m 0 xx-m x2-m 即乂饥 - 2 y2ky1-2-yl y2m 0. 2ky{y2 - 乂 y2m 2 0. 1AhSS 于是2k -2--2m 2 0 k。0.1 2m 2 0,即mM--,07分 A5A522 ⑵对于椭圆 y2 l,a l,c 2. /. 52 c 于是猜想椭圆44i的左特征点”是椭圆的左准线与x轴的交点.io分 a b 证明设椭圆的左准线/与x轴相交于M点，过4,8分别作/的垂线,垂足为C,D. 据椭圆第二定义匡，即明，于是丝1 四1即1 四1 | AC I \BD\ \BF\ \BD\\BF\ \ DM \ \BD\ \DM\ \CM \ \ DM \ .ZAMC ZBMD n ZAMF ZBMF .为匕4翊的平分线.故M为椭圆的”左特征点”.14分