223不定方程与不定方程组
不定方程与不定方程组 1. 利用整除及奇偶性解不定方程 2. 不定方程的试值技巧 3. 学会解不定方程的经典例题 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称 不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题, 公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的 大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来. 考点说明 在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方 法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重 要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具 解题。 二、不定方程基本定义 1、定义:不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。 2、不定方程的解:使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解,不定方程的解不唯一。 3、研究不定方程要解决三个问题:①判断何时有解;②有解时确定解的个数;③求出所有的解 三、不定方程的试值技巧 1、奇偶性 2、整除的特点(能被2、3、5等数字整除的特性) 3、余数性质的应用(和、差、积的性质及同余的性质) 模块一、利用整除性质解不定方程 【例1】求方程2x-3y=8的整数解 【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答 3 【解析】方法一:由原方程,易得2x = 8 + 3y, x=4+ —y,因此,对y的任意一个值,都有一个x与之对应,并且,此时x与y的值必定满足原方程,故这样的x与y是原方程的一组解,即原方程的解可表为: [4 3 7 +5知道y为偶数,所以方程解为: Jx = U [y = 2 模块二、利用余数性质解不定方程 x=l 时,17 — 2x=15, x = 6 时,17-2x= 5, x=ll 时,17-2x=17 【例3】 求不定方程7x + lly = 1288的正整数解有多少组? 【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答 【解析】本题无论x或是y,情况都较多,故不可能逐一试验.检验可知1288是7的倍数,所以1顷也是7 的倍数,则〉是7的倍数. 设y = 7z,原方程可变为x + llz = 184, z可以为1, 2, 3, 16.由于每一个z的值都确定了原 方程的一组正整数解,所以原方程共有16组正整数解. 【答案】16组 【例4]求方程3x+5y=31的整数解 【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答 【解析】方法一:利用欧拉分离法,由原方程,得x= I,,即x=10—2y+上),要使方程有整数解 33 上2必须为整数. 3 取 y=2,得 x=10—2y+=10—4+1=7,故 x=7, y=2 当 y=5,得 x=10-2y+^^ =10-10+2=2,故 x=2, y=5 当 y = 8,得 x=10 — 2y+上业=10—16 + 3 无解 x = 2 y = 5 x = 7 y = 2 方法二:利用余数的性质 3x是3的倍数,和31除以3余1,所以5y除以3余1 (2y除以3余1),根据这个情况用余数的和 与乘积性质进行判定为: 取 y=l, y=2, y=3, y=4, y=5, y=6, 所以方程的解为: 2y=2, 2y=4, 2y=6, 2y=8, 2^3 = 0 2 4?3 = 11 6《3=2 (舍) 8-3=22 (舍) (符合题意) 2y=10, 10^3 = 3 2y=12, 12^3=4 (舍) 当y>6时,结果超过31,不符合题意。 x = 7 .y = 2 所以方程的解为: (舍) 1 (符合题意) 【答案】 【巩固】解方程7x + 4y = 89,(其中x、y均为正整数) 【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答 【解析】方法一:7x + 4y = 89 4y是4的倍数,和89除以4余1,所以7x除以4余1 (7+4三3),可以看成 3x除以4余1,根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为(x<13) x=l, 3x=3, 3+4三3 (舍) x=2, 3x=6, 6+4三2 (舍) x=3, 3x=9, 9+4三1 (符合题意) x=4, 3x=12, 12+4三0 (舍) x=5, 3x=15, 15+4三3 (舍) x=6, 3x=18, 18+4三2 (舍) x=7, 3x=21, 21+4三 1 (符合题意) x=8, 3x=24, 24+4三0 (舍) x=9, 3x=27, 27+4三3 (舍) 【