7-8常系数非齐次线性微分方程
第8节常系数非齐次线性微分方程 教学目的:二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 教学重点:二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 教学难点:二阶常系数非齐次线性微分方程的特解求解方法 教学方法:讲授为主,互动为辅 教学课时:2 教学内容: 二阶常系数非齐次线性微分方程 从第二节的讨论知,一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方 程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和.而二阶常系数非齐次线性微分方程 具有相类似的性质. 定理2设y* =〈3)是二阶常系数非齐次线性微分方程 + py +qy =(3) 的一个特解,而K为对应于方程(3)的齐次线性微分方程的通解,则y^Y + y^J 方程(3)的通解. 由此结论可知,二阶常系数非齐次线性微分方程的通解,可按下面三个步骤 来求: ① 求其对应的齐次线性微分方程的通解K; ② 求非齐次线性微分方程的一个特解y* ; ③ 原方程的通解为丁 = ^+矿. 求齐次线性微分方程的通解K的方法前面已讨论过,所以只要研究一下如何 求非齐次方程(3)的一个特解就行.限于篇幅,这里只讨论了(X)为以下两种形式 的情形. I. f(x) = 43)e%其中人是常数,七⑴是x的秫次多项式: PJx) = aox“ +■■■ + am_ix + am ; II. y(x) = e“ B(x)coscox+4(x)sina)x],其中4 和刃是常数,g(x)、R(x) 分别是x的,次和“次多项式,其中有一个可为零. 对于以上两种情形,下面用待定系数法来求方程(3)的一个特解,其基本思想 是:先根据/(%)的特点,确定特解矿的类型,然后把y*代入到原方程中,确定矿 中的待定系数. I. f ⑴= E,,(x)e衣型 因为方程(3)右端/Xx)是多项式4(x)与指数函数e衣的乘积,而多项式与指 数函数乘积的导数仍然是同一类型的函数,因此,我们推测y*=0 x)e%其中 Q⑴是某个多项式)可能是方程(3)的一个解,把y,、3) 及成)“代入方程(3), 求出Q(x)的系数,使y*=Q(x)eM 满足方程(3)即可.为此将 .y, =0 x)e气 成) =脂[入0 x)+必⑴], 3)’=史[x2e(x)+2 入必⑴+。⑴] 代入方程⑶并消去e气得 。⑴ + (22 + 〃)Q (x) + (矛 +眼 + g)Q(x) = Pm (x).⑷ (1) 如果人不是方程⑶的特征方程r2 + pr + q = 0的根,由于4(x)是一个所 次多项式,要使方程⑷的两端恒等,可令Q3)为另一个山次多项式。,“(工),即 设0,3)为 Qm(X)=她“+ bxxm~ +••• + bm_lx + bm, 其中林站…,如为待定系数,将0,⑴代入⑷,比较等式两端x同次蓦的系数, 可得含有0。, S, • • •,与的m +1个方程的联立方程组,解出饥(/ = 0,1, • • • m)得到所求 特解 矿=0(珈七 (2) 如果4是特征方程r2 + pr + q = 0的单根,即矛+/?4 + q = 0,但 2/l + pAO,要使⑷式的两端恒等,0(x)必须是m次多项式,此时可令 Q(x) =》0,(x), 并且可用同样的方法确定0,3)的系数= 0,1,---m). (3) 如果4是特征方程r2 + pr + q = 0的重根,即矛+ /?人+ g = 0且 2人+ /? = 0,要使式⑷的两端恒等,Q (x)必须是农次多项式,此时可令 Q(x) = x2Qm(x ), 并且利用同样的方法可以确定Qm(x)的系数Z?,(z = 0,1,---m). 综上所述,我们有以下结论: 如果/(x) = ^(x)e^,则二阶常系数非齐次线性微分方程(3)具有形如 y=xkQm^ 的特解;其中0,3)是与43)同次(以次)的多项式,而上按4不是特征方程的根、 是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2 . 例5求方程y“-5.y + 6.y = 6尸—10》+ 2的通解. 解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且右端函数形如 43)e衣,其中 4 = 0, Pm (x) = 6x2 — 10 x + 2. 先求对应齐次方程 .y“ — 5.y + 6.y = 0 的通解,其特征方程是 r2 -5r + 6 = 0 . 特征根* = 2,「2 = 3,对应齐次方程的通解为 Y = C^x + C2e3x. 因为4 = 0不是特征根,因而所求方程有形如 y* = Ax2 + Bx+C 的特解.由于3*) = 2Ax + B,3*) = 2A,将它们代入原方程中得恒等式 6Ax~ + (63- 10A)x +2A-5B + 6C = 6x~ -10 x+2. 比较上式两端%的同次矗的系数可得 6A = 6, < 63 —10A = —10, 2A —53 + 6C = 2. 解方程组得A = 1,3 = 0, C = 0.故所求方程的一个特解为 y* - %2. 从而所求方程的通解为 y = Qe2^ + C2e3x + x2. 例6求方程y“-4y +4y = 2刀。2,的通解. 解所求方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,且右端函数形如 /;3)e衣,其中 4 = 2, Pm (x) = 2x. 所求解的方程对应的齐次方程/-4/ + 4y = 0的通解为 Y = e-A\C1+C,x\ 由于r = 2是二重特征根,所以设所求方程有形如 y* = x2(Ax+ B)e2x 的特解.将它代入所求方程可得 6Ax + 2B = 2x. 比较等式两端X的同次幕的系数,得A = -,B = O.于是得所求方程的一个特解 3 为 V,=虹己 ■3 最后得所求方程的通解为 y = e-x(Ci+C2x + ^x3Y II. y(x) = e“l3(x)cos(ar+4(x)sin&zr]型 可以推证,如果f(x)=泌[片3)*伽+4(外出加,则二阶常系数非齐次 线性微分方程(3)的特解可设为 v* = x*e“ [Q“ (x) cos cox+7?m(x) sin cox], 其中2m(x),是m次多项式,m = max[l,n],而*按A±io)不是特征方程的 根或是特征方程的单根依次取0或1 . 例 7 求方程 yv + - 2 v = eA (cos x - 7 sin x)的通解. 解 所求解的方程对应的齐次方程y“ +/-2v = 0的特征方程为 特征根* =1,「2 =-2,齐次方程的通解为 Y = Ge“ + C2e“Y. 因为4±/初=1 ±z•不是特征根,故所求方程具有形如 v,:,= e\A cos x + Bsin x) 的特解,求得 (y*) = e“[(A+B)cosx + (B —A)sinx], (y*)“ = e“[2Bcosx —2Asinx]. 代入所求方程并化简得恒等式 (33 - A) cos x — (B + 3A) sin x = cos x — 7 s