7-8常系数非齐次线性微分方程

第8节常系数非齐次线性微分方程 教学目的二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 教学重点二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 教学难点二阶常系数非齐次线性微分方程的特解求解方法 教学方法讲授为主，互动为辅 教学课时2 教学内容 二阶常系数非齐次线性微分方程 从第二节的讨论知，一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方 程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和.而二阶常系数非齐次线性微分方程 具有相类似的性质. 定理2设y* 〈3是二阶常系数非齐次线性微分方程 py qy 3 的一个特解，而K为对应于方程3的齐次线性微分方程的通解，则yY yJ 方程3的通解. 由此结论可知，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤 来求 ① 求其对应的齐次线性微分方程的通解K； ② 求非齐次线性微分方程的一个特解y* ； ③ 原方程的通解为丁 矿. 求齐次线性微分方程的通解K的方法前面已讨论过，所以只要研究一下如何 求非齐次方程3的一个特解就行.限于篇幅，这里只讨论了X为以下两种形式 的情形. I. fx 43e其中人是常数，七⑴是x的秫次多项式 PJx aox■■■ am_ix am ； II. yx eBxcoscox4xsinax],其中4 和刃是常数，gx、Rx 分别是x的，次和次多项式，其中有一个可为零. 对于以上两种情形，下面用待定系数法来求方程3的一个特解，其基本思想 是先根据/的特点，确定特解矿的类型，然后把y*代入到原方程中，确定矿 中的待定系数. I. f ⑴ E,,xe衣型 因为方程3右端/Xx是多项式4x与指数函数e衣的乘积，而多项式与指 数函数乘积的导数仍然是同一类型的函数，因此，我们推测y*0 xe其中 Q⑴是某个多项式可能是方程3的一个解，把y，、3及成代入方程3, 求出Qx的系数，使y*QxeM满足方程3即可.为此将 .y, 0 xe气 成脂[入0 x必⑴], 3’史[x2ex2 入必⑴。⑴] 代入方程⑶并消去e气得 。⑴ 22 〃Qx 矛 眼 gQx Pm x.⑷ 1 如果人不是方程⑶的特征方程r2 pr q 0的根，由于4x是一个所 次多项式，要使方程⑷的两端恒等，可令Q3为另一个山次多项式。，“工，即 设0,3为 QmX她 bxxm bm_lx bm, 其中林站，如为待定系数，将0,⑴代入⑷，比较等式两端x同次蓦的系数, 可得含有0。, S, ,与的m 1个方程的联立方程组，解出饥/ 0,1, m得到所求 特解 矿0珈七 2 如果4是特征方程r2 pr q 0的单根，即矛/4 q 0,但 2/l pAO,要使⑷式的两端恒等，0x必须是m次多项式，此时可令 Qx 0,x， 并且可用同样的方法确定0,3的系数 0,1,---m. 3 如果4是特征方程r2 pr q 0的重根，即矛 /人 g 0且 2人 / 0,要使式⑷的两端恒等，Qx必须是农次多项式，此时可令 Qx x2Qmx, 并且利用同样的方法可以确定Qmx的系数Z,z 0,1,---m. 综上所述，我们有以下结论 如果/x xe,则二阶常系数非齐次线性微分方程3具有形如 yxkQm 的特解；其中0,3是与43同次以次的多项式，而上按4不是特征方程的根、 是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2 . 例5求方程y-5.y 6.y 6尸10 2的通解. 解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数形如 43e衣，其中 4 0, Pm x 6x2 10 x 2. 先求对应齐次方程 .y 5.y 6.y 0 的通解，其特征方程是 r2 -5r 6 0 . 特征根* 2,「2 3,对应齐次方程的通解为 Y Cx C2e3x. 因为4 0不是特征根，因而所求方程有形如 y* Ax2 BxC 的特解.由于3* 2Ax B，3* 2A,将它们代入原方程中得恒等式 6Ax 63- 10Ax 2A-5B 6C 6x -10 x2. 比较上式两端的同次矗的系数可得 6A 6, 63 10A 10, 2A 53 6C 2. 解方程组得A 1,3 0, C 0.故所求方程的一个特解为 y* - 2. 从而所求方程的通解为 y Qe2 C2e3x x2. 例6求方程y-4y4y 2刀。2,的通解. 解所求方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数形如 /；3e衣，其中 4 2, Pm x 2x. 所求解的方程对应的齐次方程/-4/ 4y 0的通解为 Y e-A\C1C,x\ 由于r 2是二重特征根，所以设所求方程有形如 y* x2Ax Be2x 的特解.将它代入所求方程可得 6Ax 2B 2x. 比较等式两端X的同次幕的系数，得A -,B O.于是得所求方程的一个特解 3 为 V，虹己 ■3 最后得所求方程的通解为 y e-xCiC2x x3Y II. yx el3xcosar4xsinzr]型 可以推证，如果fx泌[片3*伽4外出加，则二阶常系数非齐次 线性微分方程3的特解可设为 v* x*e [Q“ x cos cox7mx sin cox], 其中2mx,是m次多项式，m max[l,n],而*按Aio不是特征方程的 根或是特征方程的单根依次取0或1 . 例 7 求方程 yv - 2 v eA cos x - 7 sin x的通解. 解 所求解的方程对应的齐次方程y /-2v 0的特征方程为 特征根* 1,「2 -2，齐次方程的通解为 Y Ge C2eY. 因为4/初1 z不是特征根，故所求方程具有形如 v，， e\A cos x Bsin x 的特解，求得 y* e[ABcosx B Asinx], y* e[2Bcosx 2Asinx]. 代入所求方程并化简得恒等式 33 - A cos x B 3A sin x cos x 7 s