223不定方程与不定方程组

不定方程与不定方程组 1. 利用整除及奇偶性解不定方程 2. 不定方程的试值技巧 3. 学会解不定方程的经典例题 一、知识点说明 历史概述 不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称 不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题， 公元5世纪的张丘建算经中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的 大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来. 考点说明 在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方 法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重 要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具 解题。 二、不定方程基本定义 1、定义不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。 2、不定方程的解使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。 3、研究不定方程要解决三个问题①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解 三、不定方程的试值技巧 1、奇偶性 2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性） 3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质） 模块一、利用整除性质解不定方程 【例1】求方程2x-3y8的整数解 【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答 3 【解析】方法一由原方程，易得2x 8 3y, x4 y,因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应,并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为 [4 3 7 2 ,其中k为任意数.说明 由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解. ，k 方法二根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x-3y 8成立，y必为偶数， 当y0, x4;当y2, x7;当y4, x 10,本题有无穷多个解。 【答案】无穷多个解 【巩固】求方程2x6y9的整数解 【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答 【解析】因为2x6y 2（x3y）,所以，不论x和y取何整数，都有2|2x 6y,但2G9,因此，不论x和y 取什么整数，2x6y都不可能等于9,即原方程无整数解. 说明此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。 【例2] 【考点】 【解析】 【答案】无整数解 求方程4x10y34的正整数解 不定方程【难度】2星【题型】解答 因为4与10的最大公约数为2,而2|34,两边约去2后，得2x5y17, 5y的个位是。或5两种 情况，2x是偶数，要想和为17, 5y的个位只能是5, y为奇数即可；2x的个位为2,所以x的取值 为 1、6、11、16 所以方程有两组整数解为 y3, yi, 22,无解 x l .y3 【答案】 X 1 3 【巩固】 【考点】 【解析】 求方程3x5y12的整数解 不定方程【难度】2星【题型】解答 由3x5y12, 3x是3的倍数，要想和为12 （3的倍数），5y也为3的倍数，所以y为3的倍数即 可，所以y的取值为0、3、6、9、12 y0 时，125y12, x4, x3 时，125y1215,无解 x 4 y 0 所以方程的解为 【答案】 【巩固】 【考点】 【解析】 解不定方程2x 9y 40 （其中x,y均为正整数） 不定方程【难度】2星【题型】解答 方法一2x是偶数，要想和为40（偶数），9y也为偶数，即y为偶数，也可以化简方程2x 9y 40 【难度】2星 【答案】 _40-9xy x 20一55知道y为偶数，所以方程解为 Jx U [y 2 模块二、利用余数性质解不定方程 xl 时，17 2x15, x 6 时，17-2x 5, xll 时，17-2x17 【例3】 求不定方程7x lly 1288的正整数解有多少组 【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答 【解析】本题无论x或是y,情况都较多，故不可能逐一试验.检验可知1288是7的倍数，所以1顷也是7 的倍数，则〉是7的倍数. 设y 7z,原方程可变为x llz 184, z可以为1, 2, 3, ......16.由于每一个z的值都确定了原 方程的一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解. 【答案】16组 【例4］求方程3x5y31的整数解 【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答 【解析】方法一利用欧拉分离法，由原方程，得x I，,即x102y上），要使方程有整数解 33 上2必须为整数. 3 取 y2,得 x102y10417,故 x7, y2 当 y5,得 x10-2y 10-1022,故 x2, y5 当 y 8,得 x10 2y上业1016 3 无解 x 2 y 5 x 7 y 2 方法二利用余数的性质 3x是3的倍数，和31除以3余1,所以5y除以3余1 （2y除以3余1）,根据这个情况用余数的和 与乘积性质进行判定为 取 yl, y2, y3, y4, y5, y6, 所以方程的解为 2y2, 2y4, 2y6, 2y8, 23 0 2 43 11 632 （舍） 8-322 （舍） （符合题意） 2y10, 103 3 2y12, 1234 （舍） 当y6时，结果超过31,不符合题意。 x 7 .y 2 所以方程的解为 （舍） 1 （符合题意） 【答案】 【巩固】解方程7x 4y 89,（其中x、y均为正整数） 【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答 【解析】方法一7x 4y 89 4y是4的倍数，和89除以4余1,所以7x除以4余1 （74三3）,可以看成 3x除以4余1,根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x13） xl, 3x3, 34三3 （舍） x2, 3x6, 64三2 （舍） x3, 3x9, 94三1 （符合题意） x4, 3x12, 124三0 （舍） x5, 3x15, 154三3 （舍） x6, 3x18, 184三2 （舍） x7, 3x21, 214三 1 （符合题意） x8, 3x24, 244三0 （舍） x9, 3x27, 274三3 （舍） 【