211椭圆及其标准方程二
2.1.1椭圆及其标准方程(二) 一、基础过关 1. 设F1,凡为定点,1尸1灼1=10,动点M满足\MF{\ + \MF^ = ^,则动点M的轨迹是() A. 线段B.椭圆C.圆D.不存在 2. 椭圆25/+16/= 1的焦点坐标为() A. (±3,0)B.(±§ 0) C.(土寿,0)D.(o, ±寿) 2 3. 椭圆1的两个焦点为Fl、F2,过Fl作垂直于X轴的直线与椭圆相交,一个交点 为P,贝睥园等于() A.乎 B.V5 C.: D. 4 22 4. 已知椭圆方+去=1(以>0), M为椭圆上一动点,F]为椭圆的左焦点,则线段炒的中 点P的轨迹是 A.圆B.椭圆C.线段 D.直线 2222 5-曲线*+3=1与齐+&=1(心<9)的关系是 A.有相等的焦距,相同的焦点 B. 有相等的焦距,不同的焦点 C. 有不相等的焦距,不同的焦点 D. 以上都不对 / v24 6.椭圆京+/=10>力>0)的两个焦点为Fi、心 点?在椭圆C上,且PF^FrF,, \PFi\=y \PF2\=y.求椭圆C的方程. 二、能力提升 .22一 一一 7. 设尸1、尸2分别是椭圆东+3= 1的左、右焦点,若点p在椭圆上,且扁花=0,则I丽 +丽=. 8. 已知A(—g 0), B是圆F: (x—f)+y2=4(F为圆心)上一动点,线段的垂直平分线 交BF于P,则动点P的轨迹方程为. 2 9. 设入,儿分别为椭圆f+y2= 1的左,右焦点,点A, 3在椭圆上.若办=5成,则点 A的坐标是. 10. /XABC的三边a, b, c成等差数列,旦a>/?>c, A, C的坐标分别为(一1,0), (1,0),求 顶点3的轨迹方程. 11. F是椭圆,+* =l(a>b>0)上的任意一点,Fi,儿是它的两个焦点,。为坐标原点,OQ =函+匝,求动点Q的轨迹方程. 三、探究与拓展 在面积为1的△FAW中,tanZPMN=§, tanZMNP=-2,建立适当的平面直角坐标系, 求以必,N为焦点,且经过点P的椭圆的方程. 答案 1. D 2. D 3. C 4. B 5. B 6. 解因为点P在椭圆C±, 所以 2a=IPF|l+IPF2l = 6, a = 3. 在 RtAPF,F2 中,IF1F2I =寸1尸政2-1所|2 = 2^5, 故椭圆的半焦距c=S,从而b2 = a2~ c2 = 4, 22 所以椭圆C的方程为1 + ^=1. 7. 6 8. x2+^y2—l 9. (0,1)或(0, -1) 10. 解 由已知得b=2,又a, b, c成等差数列, .•.a + c=2D = 4,即L4BI + \BC\ = 4, .••点B到定点A、。的距离之和为定值4,由椭圆定义知3点的轨迹为椭圆的一部分, 其中 a,=2, c = 1. .\b = 3.又 a>b>c, 22 顶点8的轨迹方程为土+普=l(-20). 12. 解如图所示,以MN所在的直线为x轴,线段MN的垂直平分线 为y轴,建立平面直角坐标系. 22 设椭圆的方程为『春=1 (。对>0), M(-G。),N(c,。), P(x0, yo). 由 tm—PMN = 5, tanZPA/x = tan(7i - 2MNP) = 2, 得直线FAf, FN的方程分别是y =;(x+c), y=2(x~ c). “。=¥<54、 联立解得[耳即点P(jc,孕) 又SAPMN = ^MN\-\y0\ = §X2cX§c = |c2, . .|c2 = 1,即 c=乎, pn 晅.『22 15 3 即 1= .b = a - c = ^ - = 3. 22 .•.所求椭圆的方程为弟+%=1.