21抛物线及其标准方程
2. 1施例体及尊标淮方作 教学目的: 1. 使学生掌握抛物线的定义,标准方程及其推导过程; 2. 根据定义画出抛物线的草图. 3. 使学生能熟练地运用坐标,进一步提高学生“应用数学”的水平. 教学重点:抛物线的定义 教学难点:抛物线标准方程的不同形式 授课类型:新授课. 课时安排:1课时. 教 具:多媒体、实物投影仪. 内容分析: 教学过程: 一、复习引入: 1 .椭圆的第二定义.:一动点到定点的距离和它到一条定直线Z的距离的比是一个(0,1)内的 常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点, 定直线叫做准线,常数e就是离心率. 2. 双曲线的第二定义:一动点到定点F的距离与到一 条定直线Z的距离之比是一个(l,+oo)内的常数e ,那么这个 点的轨迹叫做双曲线.其中定点叫做双曲线的焦点,定直 线叫做双曲线的准线.常数e是双曲线的离心率. 3. 问题:到定点距离与到定直线距离之比是定值e的点的轨迹,当00)叫做抛物线的标准方程. (1)它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(匕,0),它的准线方程是x =-匚 22 (2)一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物 线的标准方程还有其他几种形式:y2 =-2px, x2 =2py, x2 =-2py .这四种抛物线的图形、 标准方程、焦点坐标以及准线方程如下. 3. 抛物线的准线方程:如图所示,分别建立直角坐标系,设出|KF| = p (p〉0),则抛物线的标 ⑴ y2 =2px(p >0),焦点:(% ,0),准线/: x = ⑵ x2 = 2py(p > 0),焦点:(0,号),准线/: y = 一乌. ⑶ y2 = -2px(p > 0),焦点:(一翌,0),准线/: x = -|-. ⑷ x2 = -2py(p > 0),焦点:(0,-f),准线/: y = f. 相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点 在对称轴上关于原点对称.它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的上,即虫=史. 442 不同点:(1)图形关于X轴对称时,X为一次项,Y为二次项,方程右端为±2px、左端为y2 ; 图形关于Y轴对称时,X为二次项,Y为一次项,方程右端为±2py,左端为x1. (2)开口方 向在X轴(或Y轴)正向时,焦点在X轴(或Y轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在X轴 (或Y轴)负向时,焦点在X轴(或Y轴)负半轴时,方程右端取负号. 点评:(1)建立坐标系是坐标法的思想基础,但不同的建立方式使所得的方程繁简不同,布 置学生自己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、自学能力,提高教学效果,进 一步明确抛物线上的点的几何意义. (2)猜想是数学问题解决中的一类重要方法,请同学们根据推导出的(1)的标准方程猜想 其它几个结论,非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能力,帮助他们形成良好的直觉思维 一数学思维的一种基本形式.另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式,也比老 师直接写出这些方程给学生带来的理解和记忆的效果更好. (3)对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的归纳小结,让学生 通过对比分析全面深刻地理解和掌握它们. 三、讲解范例: 例1 (1)已知抛物线标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程. (2)已知抛物线的焦点坐标是F (0, -2),求它的标准方程. 分析:(1)在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的,所以只要求出p 即可; (2)求的是标准方程,因此所指抛物线应过原点,结合焦点坐标求出p,问题易解。 33 解析:(1) p=3,焦点坐标是(一,0)准线方程是x=— — . 22 (2)焦点在y轴负半轴上,?=2, 2 所以所求抛物线的标准议程是子=—8y . 例2已知抛物线的标准方程是(1) /=12x, (2)尸12/,求它的焦点坐标和准线方程. 分析:这是关于抛物线标准方程的基本例题,关键是(1)根据示意图确定属于哪类标准形式,(2) 求出参数〃的值. 解:(1) 〃=6,焦点坐标是(3, 0)准线方程是x=—3. (2)先化为标准方程x2 = — y9 p=」~,焦点坐标是(0,— 22448 准线方程是尸一L. 48 例3求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是F (—5, 0) (2)经过点/ (2, -3) 分析:抛物线的标准方程中只有一个参数0因此,只要确定了抛物线属于哪类标准形式,再求 出P值就可以写出其方程,但要注意两解的情况(如第(2)小题). 解:(1)焦点在x轴负半轴上,-=5, 2 所以所求抛物线的标准议程是y2 = -20 x. (2)经过点/ (2, -3)的抛物线可能有两种标准形式: 寸=2次或x= — 2py. ,一9 点力(2, —3)坐标代入,即9=4/2,得2p= — 2 4 点/ (2, —3)坐标代入 x = —2py,即 4=6/2,得 2p—— 3 94 「・所求抛物线的标准方程是y = ~ x或x= — — y 23 四、课堂练习: 1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. (1) y=8x (2) x=4y (3) 2寸+3x=0 (4) y = -—x2 6 2. 根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1) 焦点是夕(一2, 0)・ (2) 准线方程是y =:. (3) 焦点到准线的距离是4,焦点在y轴上. (4) 经过点/ (6, -2)・ 3. 抛物线/ = 4y上的点〃到焦点的距离是10,求〃点坐标. 课堂练习答案: 1. (1) F (2, 0), ¥=—2 (2) (0, 1), y=~l 3 (3)(——,0), x