21抛物线及其标准方程

2. 1施例体及尊标淮方作 教学目的 1. 使学生掌握抛物线的定义，标准方程及其推导过程； 2. 根据定义画出抛物线的草图. 3. 使学生能熟练地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平. 教学重点抛物线的定义 教学难点抛物线标准方程的不同形式 授课类型新授课. 课时安排1课时. 教 具多媒体、实物投影仪. 内容分析 教学过程 一、复习引入 1 .椭圆的第二定义.一动点到定点的距离和它到一条定直线Z的距离的比是一个0,1内的 常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆.其中定点叫做焦点， 定直线叫做准线，常数e就是离心率. 2. 双曲线的第二定义一动点到定点F的距离与到一 条定直线Z的距离之比是一个l,oo内的常数e ,那么这个 点的轨迹叫做双曲线.其中定点叫做双曲线的焦点，定直 线叫做双曲线的准线.常数e是双曲线的离心率. 3. 问题到定点距离与到定直线距离之比是定值e的点的轨迹，当0el时是椭圆，当el 时是双曲线。此时自然想到，当el时轨迹是什么 若一动点到定点F的距离与到一条定直线/的距离之比是一个常数e 1时，那么这个点的轨 迹是什么曲线 把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板 的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘，再把一条细绳的一 端固定在三角板的另一条直角边的一点A,取绳长等于点 A到直角标顶点C的长即点A到直线L的距离，并且把 绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角 板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线. 二、讲解新课 1. 抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线 的焦点，定直线/叫做抛物线的准线. 2. 推导抛物线的标准方程 如图所示，建立直角坐标系系，设|KF| p （p〉0），那么焦点F的坐标为 （号,0）,准线/的方程为x , 设抛物线上的点M （x,y）,则有 y2 |X |. 化简方程得y2 2px （p〉0）. 方程y2 2px （p0）叫做抛物线的标准方程. （1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（匕,0）,它的准线方程是x -匚 22 （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物 线的标准方程还有其他几种形式y2 -2px, x2 2py, x2 -2py .这四种抛物线的图形、 标准方程、焦点坐标以及准线方程如下. 3. 抛物线的准线方程如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF| p （p〉0）,则抛物线的标 ⑴ y2 2pxp 0,焦点 ,0，准线/ x ⑵ x2 2py（p 0）,焦点（0,号）,准线/ y 一乌. ⑶ y2 -2px（p 0）,焦点（一翌,0）,准线/ x -|-. ⑷ x2 -2py（p 0）,焦点（0,-f）,准线/ y f. 相同点（1）抛物线都过原点；（2）对称轴为坐标轴；（3）准线都与对称轴垂直，垂足与焦点 在对称轴上关于原点对称.它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的上，即虫史. 442 不同点（1）图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为2px、左端为y2 ； 图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为2py,左端为x1. （2）开口方 向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴 （或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号. 点评（1）建立坐标系是坐标法的思想基础，但不同的建立方式使所得的方程繁简不同，布 置学生自己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、自学能力，提高教学效果，进 一步明确抛物线上的点的几何意义. （2）猜想是数学问题解决中的一类重要方法，请同学们根据推导出的（1）的标准方程猜想 其它几个结论，非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能力，帮助他们形成良好的直觉思维 一数学思维的一种基本形式.另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式，也比老 师直接写出这些方程给学生带来的理解和记忆的效果更好. （3）对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的归纳小结，让学生 通过对比分析全面深刻地理解和掌握它们. 三、讲解范例 例1 （1）已知抛物线标准方程是y26x,求它的焦点坐标和准线方程. （2）已知抛物线的焦点坐标是F （0, -2）,求它的标准方程. 分析（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p 即可； （2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p,问题易解。 33 解析（1） p3,焦点坐标是（一，0）准线方程是x . 22 （2）焦点在y轴负半轴上，2, 2 所以所求抛物线的标准议程是子8y . 例2已知抛物线的标准方程是（1） /12x, （2）尸12/,求它的焦点坐标和准线方程. 分析这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2） 求出参数〃的值. 解（1） 〃6,焦点坐标是（3, 0）准线方程是x3. （2）先化为标准方程x2 y9 p」，焦点坐标是（0， 22448 准线方程是尸一L. 48 例3求满足下列条件的抛物线的标准方程 （1）焦点坐标是F （5, 0） （2）经过点/ （2, -3） 分析抛物线的标准方程中只有一个参数0因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求 出P值就可以写出其方程，但要注意两解的情况如第2小题. 解1焦点在x轴负半轴上，-5, 2 所以所求抛物线的标准议程是y2 -20 x. 2经过点/ 2, -3的抛物线可能有两种标准形式 寸2次或x 2py. ，一9 点力2, 3坐标代入，即94/2,得2p 2 4 点/ 2, 3坐标代入 x 2py,即 46/2,得 2p 3 94 「・所求抛物线的标准方程是y x或x y 23 四、课堂练习 1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程. 1 y8x 2 x4y 3 2寸3x0 4 y -x2 6 2. 根据下列条件写出抛物线的标准方程. 1 焦点是夕一2, 0・ 2 准线方程是y . 3 焦点到准线的距离是4,焦点在y轴上. 4 经过点/ 6, -2・ 3. 抛物线/ 4y上的点〃到焦点的距离是10,求〃点坐标. 课堂练习答案 1. 1 F 2, 0, 2 2 0, 1, yl 3 3，0, x