2021届新高考数学一轮专题复习新高考版第43讲抛物线讲义版
第43讲JI物线 —、考情分析 1. 了解抛物线的实际背景,了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 二、知识梳理 1. 抛物线的定义 (1) 平面内与一个定点F和一条定直线/(7布)的距离笠的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物 线的焦点,定直线/叫做抛物线的地. (2) 其数学表达式:= 为点M到准线I的距离). 2抛物线的标准方程与几何性质 图形 w 标准 方程 y2 = 2px (p>o) y2= —2px (p>o) x2 = 2py (p>o) x2= ~2py (p>o) p的几何意义:焦点F到准线Z的距离 性 质 顶点 0(0, 0) 对称轴 j=0 x=0 隹占 八、、八、、 裙,o) § o) 7(0,次 4。-项 离心率 e=l 准线方程 2 x=~2 2 、=2 2 y=—2 2 y=2 范围 xNO, yER yWO, 开口方向 向右 向左 向上 向下 [微点提醒] 1. 通径:过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦. 2. 抛物线y2=2px(p>0)±.一点P(xo, yo)到焦点裾,。)的距离|“1=肋+弓,也称为抛物线的焦半 径. 三、经典例题 考点一抛物线的定义及应用 【例1】(1)己知抛物线x2 = 2y的焦点为F,其上有两点A(xu yi), B(x2, *)满足\AF]~\BF\=2, 则 yi+“—*—“=() A.4B.6C.8D.10 (2)若抛物线y2=4x的准线为I, P是抛物线上任意一点,则P到准线I的距离与P到直线3x+ 4y+7 = 0的距离之和的最小值是() 1314 A.2B.yC.yD.3 解析(1)由抛物线定义知\AF\=y\+^, \BF\=yi+^, . .\AF\ — \BF\=yi~y2=2,又知 x?=2yi, j&= 2yi, x?—= 2(yi —p)=4, .*.yi+x?—y2—x5 = (yi—y2)+ (x?—x5) = 2+4 = 6. (2)由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离,由抛物线y2=4x及直线方 程3x+4j+7 = 0可得直线与抛物线相离,.•.点P到准线I的距离与点P到直线3x+4y+7 = 0的 13+71 距离之和的最小值为点F(L 0)到直线3x+4y+7 = 0的距离,即^^ = 2. 答案(1)B (2)A 规律方法应用抛物线定义的两个关键点 (1) 由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化. (2) 注意灵活运用抛物线上一点P(xo,英)到焦点F的距离|PF| = |x()|+§或|PF| = |y)|+§ 考点二抛物线的标准方程及其性质 【例2】(1)抛物线C: V = 4x的焦点为F,其准线Z与x轴交于点A,点肱在抛物线。上,当嘴 =«时,ZkAMF的面积为() A.lB.y/2C.2D.2彖 (2)已知圆G:必+Q—2沪=4,抛物线C2: y2=2px(p>0), G与C2相交于A, 3两点,且\AB\=^-, 则抛物线C2的方程为() 9 89 16 9 329 64 Cy=-^~xD.yz=-^x 解析(1)过肱作MP垂直于准线,垂足为P, 则阻=粗=区=―1一 ^\MF] * \MP\ cos ZAMPf yh 则 cos ZAMP=^,又 0。0)和定点肱(0, 1),设过点M的动直线交抛 物线。于A, 3两点,抛物线。在A, B处的切线交点为N. (1) 若N在以A3为直径的圆上,求p的值; (2) 若△A3N面积的最小值为4,求抛物线C的方程. 解 (1)可设AB: y=kx+l, A(xi, yi), B(xi, yi), 将A8的方程代入抛物线C,得 x1—2pkx—2p=0,显然方程有两不等实根, 则 xi+x2=2pk, x\X2 = — 2p.① 又 x2 = 2py 得 > =* 则A, B处的切线斜率乘积为尹=一j= —1, 则有p=2. (2)设切线 AN 为 y~^x-\-b, 又切点A在抛物线y=3上, 「・>1 =错误!,:,b =错误!一错误!=一错误!, VI 切线AN的方程为yAN—~x—错误!, Vo 同理切线BN的方程为VBN弋x—错误!. 又在/AN和 >珈上, .・・错误!解得N错误!. :.N(pk, 一1). \AB\ =寸1+罗忻2一由|=/1+ ㈤ 4/?砂+8p, 点N到直线AB的距离 Saabn= 2, I AB\-d—yjp_(pF+2),N 2yj2p, 故抛物线C的方程为x2=4y. 规律方法1.有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦 点,可直接使用公式\AB\=xi+x2-\-p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式. 2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、 “整体代入”等解法. [方法技巧] 1. 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”:一个动点—个定点F(抛物线的焦点),一条定 直线/(抛物线的准线),一个定值1(抛物线的离心率). 2. 抛物线的焦点弦:设过抛物线y2=2px (/?>0)的焦点的直线与抛物线交于A(xi, yi), B(X2, yi), 则: 9p2 (1) ym=—p, xix2= 4 : (2) 若直线A3的倾斜角为仇 则\AB\=^^-, \AB\=x}+x2+p; 112 (3) 若F为抛物线焦点,则有两+沂[=方・ 3. 认真区分四种形式的标准方程 (1) 区分y=ax2(a^0)与y2=2px