2021届新高考数学一轮专题复习新高考版第43讲抛物线讲义版

第43讲JI物线 、考情分析 1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 二、知识梳理 1. 抛物线的定义 1 平面内与一个定点F和一条定直线/7布的距离笠的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物 线的焦点，定直线/叫做抛物线的地. 2 其数学表达式 为点M到准线I的距离. 2抛物线的标准方程与几何性质 图形 w 标准 方程 y2 2px po y2 2px po x2 2py po x2 2py po p的几何意义焦点F到准线Z的距离 性 质 顶点 00, 0 对称轴 j0 x0 隹占 八、、八、、 裙,o o 70,次 4。-项 离心率 el 准线方程 2 x2 2 、2 2 y2 2 y2 范围 xNO, yER yWO, 开口方向 向右 向左 向上 向下 ［微点提醒］ 1. 通径过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦. 2. 抛物线y22pxp0.一点Pxo, yo到焦点裾，。的距离|1肋弓，也称为抛物线的焦半 径. 三、经典例题 考点一抛物线的定义及应用 【例1】1己知抛物线x2 2y的焦点为F,其上有两点Axu yi, Bx2, *满足\AF]\BF\2, 则 yi* A.4B.6C.8D.10 2若抛物线y24x的准线为I, P是抛物线上任意一点，则P到准线I的距离与P到直线3x 4y7 0的距离之和的最小值是 1314 A.2B.yC.yD.3 解析1由抛物线定义知\AF\y\, \BF\yi, ..\AF\ \BF\yiy22,又知 x2yi, j 2yi, x 2yi p4, .*.yixy2x5 yiy2 xx5 24 6. 2由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y24x及直线方 程3x4j7 0可得直线与抛物线相离，..点P到准线I的距离与点P到直线3x4y7 0的 1371 距离之和的最小值为点FL 0到直线3x4y7 0的距离，即 2. 答案1B 2A 规律方法应用抛物线定义的两个关键点 1 由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化. 2 注意灵活运用抛物线上一点Pxo,英到焦点F的距离|PF| |x|或|PF| |y| 考点二抛物线的标准方程及其性质 【例2】1抛物线C V 4x的焦点为F,其准线Z与x轴交于点A,点肱在抛物线。上，当嘴 时，ZkAMF的面积为 A.lB.y/2C.2D.2彖 2已知圆G必Q2沪4,抛物线C2 y22pxp0, G与C2相交于A, 3两点，且\AB\-, 则抛物线C2的方程为 9 89 16 9 329 64 Cy-xD.yz-x 解析1过肱作MP垂直于准线，垂足为P, 则阻粗区1一 \MF] * \MP\ cos ZAMPf yh 则 cos ZAMP,又 0。/心尸180。， 则ZAMP45,此时△AMP是等腰直角三角形, 设何i, \MP\ \MA\,得以1|寸镉, 解得ml, Ml, 2,所以ZXAMF的面积为|x2X2 2. 2由题意，知直线A3必过原点, 则设的方程为ykx易知k0, 圆心Ci0, 2到直线AB的距离d 解得k2, 8 y2x,|x0, x 5 由/ c、2 〃得 n 或＜1A x2 y2 24 [y016 把g,导代入抛物线方程， 2 得2/5, 解得 所以抛物线0的方程为y2yx 答案1C⑵C 规律方法1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向， 在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物 线的标准方程. 2. 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别 是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此. 考点三直线与抛物线的综合问题 【例3】2019-武汉调研己知抛物线C寸2刃30和定点肱0, 1,设过点M的动直线交抛 物线。于A, 3两点，抛物线。在A, B处的切线交点为N. 1 若N在以A3为直径的圆上，求p的值； 2 若△A3N面积的最小值为4,求抛物线C的方程. 解 1可设AB ykxl, Axi, yi, Bxi, yi, 将A8的方程代入抛物线C,得 x12pkx2p0,显然方程有两不等实根， 则 xix22pk, x\X2 2p.① 又 x2 2py 得 * 则A, B处的切线斜率乘积为尹一j 1, 则有p2. 2设切线 AN 为 yx-\-b, 又切点A在抛物线y3上， 「・1 错误，,b 错误一错误一错误， VI 切线AN的方程为yANx错误， Vo 同理切线BN的方程为VBN弋x错误. 又在/AN和 珈上， .・・错误解得N错误. .Npk, 一1. \AB\ 寸1罗忻2一由|/1 ㈤ 4/砂8p, 点N到直线AB的距离 Saabn 2, I AB\-dyjp_pF2，N 2yj2p, 故抛物线C的方程为x24y. 规律方法1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦 点，可直接使用公式\AB\xix2-\-p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 2.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、 “整体代入”等解法. ［方法技巧］ 1. 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”一个动点个定点F抛物线的焦点，一条定 直线/抛物线的准线，一个定值1抛物线的离心率. 2. 抛物线的焦点弦设过抛物线y22px /0的焦点的直线与抛物线交于Axi, yi, BX2, yi, 则 9p2 1 ymp, xix2 4 2 若直线A3的倾斜角为仇 则\AB\-, \AB\x}x2p； 112 3 若F为抛物线焦点，则有两沂［方・ 3. 认真区分四种形式的标准方程 1 区分yax2a0与y22px