2021第4章第3节三角函数的图象与性质
第三节三角函数的图象与性质 [考点要求]1.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象,了解三角函数的 周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0, 2兀]上的性质(如单调性、最大值和最小 值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间[—*项内的单调性. 夯实基础知识 课前自主回顾 担丝基苴京一一一 (对应学生用书第70页) [必备知识填充] 1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数尸sinx, %E[0, 2兀]图象的五个关键点是:(0, 0),质,1),(兀, 0),,-1] (2兀’0). 余弦函数尸cosx,炉[0, 2兀]图象的五个关键点是:(0, 1),质,0),(兀, —1),修,0), (2兀,1). 2. 正弦函数、余弦函数 正切函数的图象与性质 函数y=sinx y=cos x y=tanx y 定义域 值域 L1, 11 L1, 11 图象 71 尤夭灼1+5, k^Z 递增区间: 兀=-2_ 兀=2_ +- 2 单调性Z,递减区间: 递增区间:[2虹一兀, 2kn\, kEZ,递减区 间:\2krt, 2虹+R, 鸵Z 递增区间 7171) K71 — 2,虹十刃,kw 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心伽,0),炉Z 对称中心 “兀+* o],虹 Z 对称中心(号,o) k ez 兀 对称轴 x=knH(kwZ) 2 对称轴x=faqez) 周期性 2兀 2兀 兀 [常用结论] 1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是; 周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是,个眉期. 2.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是土企 I:学情自测验收] 一、思考辨析(正确的打“,错误的打“X”) ⑴函数y=sinx的图象关于点伽,0)(鸵Z)中心对称.() (2) 正切函数y=tanx在定义域内是增函数.() (3) 已知y=ksinx+l, xCR,则y的最大值为*+1.() (4) y=sin|x|与 y=|sinx|都是周期函数.() [答案](1)V (2)X (3)X ⑷ X 二、教材改编 1. 函数y=tan2x的定义域是() A.“卜尹如+; Ruz] z kit .兀, x尹云+§, k^Z 兀 D.何x夭万+彳,&GZ 兀kit 7L D [由2x7^兀+万,RGZ,得工夭万+彳,&GZ, 上兀 兀 .・.y=tan2x的定义域为卜尤公万+日,^EZr.] JT 2. 函数y(x)=cos (2x+^)的最小正周期是. 2兀 兀[7=*=兀.] 3. 尸sin px一额的单调减区间是. 3兀 7兀兀71 3 7i «+hi, 玄+hi (*£Z)[由方+2hcW2尤一彳W万+2hi, REZ 得 3 兀7ti 8 ~I-Ati\: 8 -• kit, kZ.] 4. y=3sin (2%—|)在区间[0,京上的值域是 [―§ 3][当姮[0,时,2x-|e[-|, y], 兀 1713 sin (2工一g)G [―云,1],故 3sin (2x—g)£ [—万,3], 兀3 即 y=3sin(2x—g)的值域为[—5, 3].] 总结常考考点 课堂考点探究 (对应学生用书第71页) 考点1三角函数的定义域和值域 保通法1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线 或三角函数图象来求解. 2.求三角函数最值或值域的常用方法 (1) 直接法:直接利用sinx和cosx的值域求解. (2) 化一法:把所给三角函数化为y=A sin (cox+(p)+k的形式,由正弦函数 单调性写出函数的值域. (3) 换元法:把sinx, cos x, sin x cos %或sinx土cosx换成7,转化为二次函 数求解. 曜典题1.函数»=-2tan(2x+^)的定义域是() C. (kWZ) j ,kit , it z,、、〕 D. 冲尹万+g (鸵Z) r TT7T D [由正切函数的定义域,得2x+g手饥+万,kEZ, kr jr 即x尹■对+g(妃Z),故选D.] 3 TT 2. (2019-全国卷 I )函数 f(x) = sin (2x+~^) — 3cos x 的最小值为. 3兀 —4 [/(x) = sin (2x+^~) —3cos x= — cos 2x—3cos x= — 2cos2x—3cosx +1, 令 cos x=t,则作[—1, 1]. 317 冷)=—2户一3f+1 = —2(,+云2+忑-, 易知当 f=l 时,A0min=-2Xl2-3Xl + l = -4. 故幻)的最小值为一4.] 3-已知函数州= sin(x+g),其中》仁3,。],若为)的值域是是,1], 则实数a的取值范围是. [亍兀][.「XE [—予“], 7T7171I •.•当g,万]时,/(尤)的值域为[—万,1], TTTT 7 JT 7T 由函数的图象(图略)知.WWqWti.] 4.函数);=sin %—cos x+sin x cos x 的值域为・ [—^—y/2, 1] [设 Z=sinx—cosx,则 i2 = sin2x+cos2x—2sinx *cos x, sin x cos 1—产 x=~2~,且 户]] .,.y=—3+1+3=―砂―1/+1, 沱[— 当 f=l 时,、max=l; 当 t= ~\[2时,^min= 函数的值域为1].] 底点评求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型 (1)形如y=a sinx+Z> cosx+c的三角函数化为y=A sin (cox+啊)+c的形式, 再求值域(最值). ⑵形如y=a sin2x+Z? sinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于,的二 次函数求值域(最值). (3)形如y=a sin3x+Z? sin2x+c sinx+t/,类似于(2)进行换元,然后用导数法 求最值. 考点2三角函数的单调性 ■通法(1)形如y=A sin (cox+眩)的函数的单调性问题,一般是将a>x~\~(p看成 一个整体,再结合图象利用y=sinx的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数 为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性. 考向1求三角函数的单调性 磨典例⑴函数/x) = tan (2x—的单调递增区间是() kn 兀 kn , 5n , A-[万-正,万+西(心) c kii 7i *兀 | 5 兀、八 一、 B •(万—正,万+商(鸵© 兀2兀 C. (虹+g,虹+~y)(*EZ) 兀5兀 D. 伙兀一正,血+西(鸵Z) 1\[371 ⑵(2019•大连模拟涵数y=^sinx+ cos