2021第4章第3节三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质 ［考点要求］1.能画出ysinx, ycosx, ytanx的图象，了解三角函数的 周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在［0, 2兀］上的性质（如单调性、最大值和最小 值、图象与x轴的交点等），理解正切函数在区间［*项内的单调性. 夯实基础知识 课前自主回顾 担丝基苴京一一一 （对应学生用书第70页） ［必备知识填充］ 1. 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数尸sinx, E［0, 2兀］图象的五个关键点是（0, 0）,质，1）,（兀， 0），，-1］（2兀’0）. 余弦函数尸cosx,炉［0, 2兀］图象的五个关键点是（0, 1）,质，0）,（兀， 1）,修,0）, （2兀，1）. 2. 正弦函数、余弦函数 正切函数的图象与性质 函数ysinx ycos x ytanx y 定义域 值域 L1, 11 L1, 11 图象 71 尤夭灼15, kZ 递增区间 兀-2_ 兀2_ - 2 单调性Z,递减区间 递增区间［2虹一兀, 2kn\, kEZ,递减区 间\2krt, 2虹R, 鸵Z 递增区间 7171 K71 2,虹十刃，kw 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心伽，0,炉Z 对称中心 兀* o］,虹 Z 对称中心号，o k ez 兀 对称轴 xknHkwZ 2 对称轴xfaqez 周期性 2兀 2兀 兀 ［常用结论］ 1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是; 周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是，个眉期. 2.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是土企 I学情自测验收］ 一、思考辨析正确的打“，错误的打“X” ⑴函数ysinx的图象关于点伽，0鸵Z中心对称. 2 正切函数ytanx在定义域内是增函数. 3 已知yksinxl, xCR,则y的最大值为*1. 4 ysin|x|与 y|sinx|都是周期函数. ［答案］1V 2X 3X ⑷ X 二、教材改编 1. 函数ytan2x的定义域是 A.卜尹如； Ruz］ z kit .兀， x尹云, kZ 兀 D.何x夭万彳，GZ 兀kit 7L D ［由2x7兀万，RGZ,得工夭万彳，GZ, 上兀 兀 .・.ytan2x的定义域为卜尤公万日，EZr.］ JT 2. 函数yxcos 2x的最小正周期是. 2兀 兀[7*兀.] 3. 尸sin px一额的单调减区间是. 3兀 7兀兀71 3 7i hi, 玄hi *Z[由方2hcW2尤一彳W万2hi, REZ 得 3 兀7ti 8 I-Ati\ 8 - kit, kZ.] 4. y3sin 2|在区间[0,京上的值域是 [ 3][当姮[0,时，2x-|e[-|, y], 兀 1713 sin 2工一gG [云，1]，故 3sin 2xg [万，3], 兀3 即 y3sin2xg的值域为[5, 3].] 总结常考考点 课堂考点探究 对应学生用书第71页 考点1三角函数的定义域和值域 保通法1.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式组，常借助三角函数线 或三角函数图象来求解. 2.求三角函数最值或值域的常用方法 1 直接法直接利用sinx和cosx的值域求解. 2 化一法把所给三角函数化为yA sin coxpk的形式，由正弦函数 单调性写出函数的值域. 3 换元法把sinx, cos x, sin x cos 或sinx土cosx换成7,转化为二次函 数求解. 曜典题1.函数-2tan2x的定义域是 C. （kWZ） j ,kit , it z,、、〕 D. 冲尹万g （鸵Z） r TT7T D ［由正切函数的定义域，得2xg手饥万，kEZ, kr jr 即x尹■对g（妃Z）,故选D.］ 3 TT 2. （2019-全国卷 I ）函数 f（x） sin （2x） 3cos x 的最小值为. 3兀 4 ［/（x） sin （2x） 3cos x cos 2x3cos x 2cos2x3cosx 1, 令 cos xt,则作［1, 1］. 317 冷）2户一3f1 2（，云2忑-, 易知当 fl 时，A0min-2Xl2-3Xl l -4. 故幻）的最小值为一4.］ 3-已知函数州 sin（xg），其中仁3,。］，若为）的值域是是，1］， 则实数a的取值范围是. ［亍兀］［.「XE ［予］， 7T7171I .当g,万]时，/（尤）的值域为[万,1], TTTT 7 JT 7T 由函数的图象（图略）知.WWqWti.] 4.函数）；sin cos xsin x cos x 的值域为・ [y/2, 1] [设 Zsinxcosx,则 i2 sin2xcos2x2sinx *cos x, sin x cos 1产 x2，且 户]] .,.y313砂1/1, 沱[ 当 fl 时，、maxl； 当 t \[2时，min 函数的值域为1].] 底点评求解三角函数的值域（最值）常见的几种类型 （1）形如ya sinxZ cosxc的三角函数化为yA sin （cox啊）c的形式， 再求值域（最值）. ⑵形如ya sin2xZ sinxc的三角函数，可先设sinxt,化为关于，的二 次函数求值域（最值）. （3）形如ya sin3xZ sin2xc sinxt/,类似于（2）进行换元，然后用导数法 求最值. 考点2三角函数的单调性 ■通法（1）形如yA sin （cox眩）的函数的单调性问题，一般是将ax\（p看成 一个整体，再结合图象利用ysinx的单调性求解；（2）如果函数中自变量的系数 为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性. 考向1求三角函数的单调性 磨典例⑴函数/x） tan （2x的单调递增区间是（） kn 兀 kn , 5n , A-[万-正，万西（心） c kii 7i *兀 | 5 兀、八 一、 B （万正，万商（鸵 兀2兀 C. （虹g,虹y）（*EZ） 兀5兀 D. 伙兀一正，血西（鸵Z） 1\[371 ⑵（2019大连模拟涵数ysinx cos