2021第5章第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例2
第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例 [考点要求]1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数 量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实 际问题. 夯实基础知识 课前自主回顾 一粗除竺基直点一一一 [必备知识填充] 1. 向量的夹角 已知两个非零向量a和代 作OA^a, OB=b,则ZA03就是向量a与〃的夹角,向量夹角的范围是:「0,兀]. 2. 平面向量的数量积 定义 设两个非零向量力的夹角为则数量kl|S|・COS_。叫做0与力的数量积,记作 a-b 投影 IgIcos ■叫做向量。在力方向上的投影, Slcos ■叫做向量力在“方向上的投影 几何 意义 数量积a-b等于a的长度旧|与力在0的方向上的投景Zlblcos 0的乘积 3. 平面向量数量积的运算律 (1)交换律:ab=ba\ ⑵数乘结合律:Ua)b=A(ab)=aUb); (3)分配律:a-(b+c)=ab+a c. 4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量 a=(x\, yi), b=(X2, >2), 0=〈a,b>, 结论 几何表示 坐标表示 模 |川=寸途顼 数量积 a-b—\a\\b\cos 0 a-b—x\X2+yiy2 夹角 - ab cos 0—I nil |a||凯 xiX2+yiy2 qJ_力 ab=0 尤弊2 +兑¥2 =。 与回网的关系 |a,|W|a||Z>| \xix2+yiy2\^xi+yi •农+崩 [常用结论] 1. 平面向量数量积运算的常用公式 (1) (a+ (2) (a+b)2=a-±2a-b+b2. 2. 两个向量a,力的夹角为锐角^a-b>0且a,力不共线; 两个向量a,》的夹角为钝角g•/>|=(a±Z>) 2=yla2±2a-b+b2 ; (3) 若 a=(x, y),则\a\=\lx2+y2. 啪典例(1)[—题多ft?](2019-昆明调研)已知向量a=(-l, 2), Z>=(1, 3),则2a~b\=() A.皿B. 2 C. y[10D. 10 ⑵已知平面向量a,》的夹角为名 且|M=“,\b\=2,在△ABC中,AB=2a+2fe, AC=2a~6b, D为BC中点, 则|AQ|等于() B. 4 D. 8 A. 2 C. 6 (3)已知在直角梯形 ABCD 中,AD//BC, ZADC=90° , AD=2, BC=l, P 是腰 DC±的动点,则\PA+3PB\ 的最小值为• 考向2平面向量的夹角 ■通法求向量夹角问题的方法 (1)定义法:当a,方是非坐标形式时,求a与的夹角0,需求出a力及|a|,网或得出它们之间的关系,由cos 0 a,b u ■xi%2+yiy2 =丽求任 (2)坐标法:若已知 q=(xi, yi)与 b=(X2, *),则 cos 〈a, b〉= ~o | 、, 〈q, b)《[0, k]. 寸对+yi ,寸必+光 (3)解三角形法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解. 嬲典例 ⑴[—题多解](2019・全国卷I )已知非零向量a, 满足|a|=2|Z>|,且(a~b)±b,则。与方的夹角为() 71712,715 71 A. T B. 3 C. M D. w 6336 (2)[—题多解](2019-全国卷III)已知G,力为单位向量,且。必=0,若c=2a—书b,则cos 〈a, c〉= [逆向问题]若向量a=(k3),》=(l,4),c=(2,1),已知2a—3b与c的夹角为钝角,则k的取值范围是. IS点评(1)研究向量的夹角应注意“共起点“;两个非零共线向量的夹角可能是0。或180° ;求角时,注意 向量夹角的取值范围是[0° , 180° ];若题目给出向量的坐标表示,可直接利用公式cos0= 崩• \jxl+yl 求解. (2)数量积大于。说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积 小于0说明不共线的两向