2021第5章第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例2

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例 ［考点要求］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数 量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实 际问题. 夯实基础知识 课前自主回顾 一粗除竺基直点一一一 ［必备知识填充］ 1. 向量的夹角 已知两个非零向量a和代 作OAa, OBb,则ZA03就是向量a与〃的夹角,向量夹角的范围是「0,兀］. 2. 平面向量的数量积 定义 设两个非零向量力的夹角为则数量kl|S|・COS_。叫做0与力的数量积,记作 a-b 投影 IgIcos ■叫做向量。在力方向上的投影， Slcos ■叫做向量力在方向上的投影 几何 意义 数量积a-b等于a的长度旧|与力在0的方向上的投景Zlblcos 0的乘积 3. 平面向量数量积的运算律 1交换律abba\ ⑵数乘结合律UabAabaUb； 3分配律a-bcaba c. 4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量 ax\, yi, bX2, 2, 0〈a，b, 结论 几何表示 坐标表示 模 |川寸途顼 数量积 a-b\a\\b\cos 0 a-bx\X2yiy2 夹角 - ab cos 0I nil |a||凯 xiX2yiy2 qJ_力 ab0 尤弊2 兑2 。 与回网的关系 |a，|W|a||Z| \xix2yiy2\xiyi 农崩 ［常用结论］ 1. 平面向量数量积运算的常用公式 1 aaZa22; 2 ab2a-2a-bb2. 2. 两个向量a,力的夹角为锐角a-b0且a,力不共线; 两个向量a,的夹角为钝角 g/ IL也*一丕迭线. I学情自测验收］ 一、思考辨析正确的打“广’，错误的打“ X” 1 两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量. 2 向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量. 3 由 a方0 可得 a0 或 50. 4a-bcab-c. 二、教材改编 1. 已知12”，|川4,。和方的夹角为135 ,则由为 A. 12 B. 6 C. 33 2.己知|g|5,也|4, t D. 3 i与b的夹角9120 ,则向量力在向量方向上的投影为 3. 已知\a\2, \b\6, a-b6\f3,则 Q 与力的夹角。 4. 己知向量 01, m,力3, 2,且ab-Lb,则农 冀笙宣考者点课堂考点探究 破暖翻考建匪 考点1平面向量数量积的运算 ■通法 平面向量数量积的3种运算方法 1 当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解，即a-b\a\\b\cos , b〉・ 2 当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若axi, yi,万入2,如，则a-bxiX2yiy2. 3 利用数量积的几何意义求解. ■典例12019・全国卷 II己知房2, 3, AC3, t, |BC| 1,则 A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 jr► ►► ►DC 2［题多解］如图，在梯形 ABCQ 中,AB//CD, CD2, ZBAD, AB-AC2.AB-AD,/X\ ］AD-AC.\ ［逆向问题］ 已知菱形ABCQ的边长为6, ZABZ30 ,点E, F分别在边BC, DC k, BC2BE, CD2CF. AE-BF9,则人的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 曜典题 1.2019-昆明模拟在ABCD 中，|AB| 8, \AD\6, N 为 DC 的中点，BM2MC,则AM-NM jr-* -* 2. 在△ABC 中，A84, BC6, ZABC,。是 AC 的中点，E在 BC 上，且 AE_L8Q,贝ljAEBC A. 16 B. 12 C. 8 D. -4 考点2平面向量数量积的应用 考向1平面向量的模 鼠通法求向量模的方法 利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法 1 aa，a|aF 或 2 |aZ|aZ 2yla22a-bb2 ； 3 若 ax, y,则\a\\lx2y2. 啪典例1[题多ft]2019-昆明调研已知向量a-l, 2, Z1, 3,则2ab\ A.皿B. 2 C. y[10D. 10 ⑵已知平面向量a,的夹角为名 且|M，\b\2,在△ABC中，AB2a2fe, AC2a6b, D为BC中点, 则|AQ|等于 B. 4 D. 8 A. 2 C. 6 3已知在直角梯形 ABCD 中，AD//BC, ZADC90 , AD2, BCl, P 是腰 DC的动点，则\PA3PB\ 的最小值为 考向2平面向量的夹角 ■通法求向量夹角问题的方法 1定义法当a,方是非坐标形式时，求a与的夹角0,需求出a力及|a|,网或得出它们之间的关系，由cos 0 a,b u ■xi2yiy2 丽求任 2坐标法若已知 qxi, yi与 bX2, *,则 cos 〈a, b〉 o | 、， 〈q, b[0, k]. 寸对yi ,寸必光 3解三角形法可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解. 嬲典例 ⑴[题多解]2019・全国卷I 已知非零向量a, 满足|a|2|Z|,且abb,则。与方的夹角为 71712,715 71 A. T B. 3 C. M D. w 6336 2[题多解]2019-全国卷III已知G,力为单位向量，且。必0,若c2a书b,则cos 〈a, c〉 [逆向问题]若向量a（k3）,（l,4）,c（2,1）,已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是. IS点评（1）研究向量的夹角应注意“共起点；两个非零共线向量的夹角可能是0。或180 ；求角时，注意 向量夹角的取值范围是[0 , 180 ]；若题目给出向量的坐标表示，可直接利用公式cos0 崩 \jxlyl 求解. （2）数量积大于。说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积 小于0说明不共线的两向